Calcule o trabalho realizado pela força
para deslocar uma partícula sobre a curva
interseção do parabolóide
com o plano
, desde o ponto do vértice do parabolóide, até o ponto no plano
, de coordenada
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
- A força é
. - A curva
é a interseção do paraboloide com o plano . - O percurso vai “desde o ponto do vértice do parabolóide” até "o ponto no plano
com " — isso significa começar no vértice do paraboloide e terminar onde a curva corta o plano (o plano ), escolhendo a interseção com . - O que o enunciado pede: calcular o trabalho realizado por
ao deslocar a partícula ao longo de entre esses dois pontos; ou seja, calcular a integral de linha
Passo 2
Escolher uma parametrização conveniente para a curva
.
- Como
é interseção do paraboloide com o plano , uma parametrização natural é tomar como parâmetro. Vou usar tal que
- Substituindo em
temos
- Portanto uma parametrização vetorial é
- Agora identificar o intervalo de
. O ponto inicial é o vértice do paraboloide. O vértice de está em . Isso corresponde a . - O ponto final é onde a curva encontra o plano
(plano ) e com . Em termos de isso é resolver . Da equação
Pelo enunciado queremos o ponto com
, então
.
- Conclusão: o parâmetro
varia de até :
- Derivada da parametrização (vetor tangente) é
Passo 3
Expressar
ao longo da curva usando a parametrização e simplificar.
- Primeiro observe o fator
. Ao longo da curva , temos
- Portanto, sobre a curva
a força fica
- Substituindo
obtemos
- Simplificando as componentes:
Passo 4
Calcular o produto escalar
, que é o integrando da integral de trabalho.
- Temos
- O produto escalar é
- Agora simplificar termo a termo:
- Os termos em
cancelam:
- Logo o integrando ficou muito simples:
Passo 5
Calcular a integral de linha para o trabalho usando o integrando encontrado.
- A integral de trabalho é
- Calcular a primitiva:
- Avaliar de
a :
Passo 6
Comentário didático e incentivo final.
- Resultado obtido com cancelamentos legais: a dependência exponencial
desapareceu sobre a reta (pois ), e as partes em também se cancelaram no produto escalar, tornando a integral fácil de calcular à mão — exatamente o tipo de simplificação que vale a pena procurar numa prova. - Bom trabalho por ter chegado até aqui; se estiver cansado, respira e confere os passos com calma que tudo bate certinho.