Calcule o trabalho realizado pela força \vec{F}(x, y, z)=\left(1+z e^{y-x}, 1-z e^{y-x},-e^{y-x}\right) para deslocar uma partícula sobre a curva C interseção do parabolóide z=8-x^{2}-y^{2} com o plano y=x, desde o ponto do vértice do parabolóide, até o ponto no plano x y, de coordenada x>0.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • A força é \vec{F}(x,y,z)=\left(1+z e^{y-x},\;1-z e^{y-x},\;-e^{y-x}\right).
  • A curva C é a interseção do paraboloide z=8-x^{2}-y^{2} com o plano y=x.
  • O percurso vai “desde o ponto do vértice do parabolóide” até "o ponto no plano xy com x>0" — isso significa começar no vértice do paraboloide e terminar onde a curva corta o plano z=0 (o plano xy), escolhendo a interseção com x>0.
  • O que o enunciado pede: calcular o trabalho realizado por \vec{F} ao deslocar a partícula ao longo de C entre esses dois pontos; ou seja, calcular a integral de linha
W=\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}.

Passo 2

Escolher uma parametrização conveniente para a curva C.
  • Como C é interseção do paraboloide com o plano y=x, uma parametrização natural é tomar x como parâmetro. Vou usar t tal que
x=t,\qquad y=t.
  • Substituindo em z=8-x^{2}-y^{2} temos
z=8-t^{2}-t^{2}=8-2t^{2}.
  • Portanto uma parametrização vetorial é
\vec{r}(t)=\bigl(t,\;t,\;8-2t^{2}\bigr).
  • Agora identificar o intervalo de t. O ponto inicial é o vértice do paraboloide. O vértice de z=8-x^{2}-y^{2} está em (0,0,8). Isso corresponde a t=0.
  • O ponto final é onde a curva encontra o plano z=0 (plano xy) e com x>0. Em termos de t isso é resolver 8-2t^{2}=0. Da equação
8-2t^{2}=0\quad\Rightarrow\quad t^{2}=4\quad\Rightarrow\quad t=\pm 2.
Pelo enunciado queremos o ponto com x>0, então t=2.
  • Conclusão: o parâmetro t varia de 0 até 2:
t\in[0,2].
  • Derivada da parametrização (vetor tangente) é
\frac{d\vec{r}}{dt}=\vec{r}\,'(t)=\bigl(1,\;1,\;-4t\bigr).

Passo 3

Expressar \vec{F} ao longo da curva usando a parametrização e simplificar.
  • Primeiro observe o fator \exp(y-x). Ao longo da curva y=x=t, temos
e^{y-x}=e^{t-t}=e^{0}=1.
  • Portanto, sobre a curva C a força fica
\vec{F}(t)=\left(1+z\cdot 1,\;1-z\cdot 1,\;-1\right)=\bigl(1+z,\;1-z,\;-1\bigr).
  • Substituindo z=8-2t^{2} obtemos
\vec{F}(t)=\bigl(1+(8-2t^{2}),\;1-(8-2t^{2}),\;-1\bigr).
  • Simplificando as componentes:
\vec{F}(t)=\bigl(9-2t^{2},\;-7+2t^{2},\;-1\bigr).

Passo 4

Calcular o produto escalar \vec{F}(t)\cdot\vec{r}\,'(t), que é o integrando da integral de trabalho.
  • Temos
\vec{r}\,'(t)=\bigl(1,\;1,\;-4t\bigr), \qquad \vec{F}(t)=\bigl(9-2t^{2},\;-7+2t^{2},\;-1\bigr).
  • O produto escalar é
\vec{F}(t)\cdot\vec{r}\,'(t)=(9-2t^{2})\cdot 1+(-7+2t^{2})\cdot 1+(-1)\cdot(-4t).
  • Agora simplificar termo a termo:
(9-2t^{2})+(-7+2t^{2})+4t = 9-2t^{2}-7+2t^{2}+4t.
  • Os termos em t^{2} cancelam:
9-7+4t=2+4t.
  • Logo o integrando ficou muito simples:
\vec{F}(t)\cdot\vec{r}\,'(t)=2+4t.

Passo 5

Calcular a integral de linha para o trabalho usando o integrando encontrado.
  • A integral de trabalho é
W=\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{t=0}^{2}\bigl(\vec{F}(t)\cdot\vec{r}\,'(t)\bigr)\,dt=\int_{0}^{2}(2+4t)\,dt.
  • Calcular a primitiva:
\int(2+4t)\,dt=2t+2t^{2}+C.
  • Avaliar de 0 a 2:
W=\bigl[2t+2t^{2}\bigr]_{0}^{2}=\bigl(2\cdot 2+2\cdot 2^{2}\bigr)-\bigl(0+0\bigr)=4+8=12.

Passo 6

Comentário didático e incentivo final.
  • Resultado obtido com cancelamentos legais: a dependência exponencial e^{y-x} desapareceu sobre a reta y=x (pois e^{0}=1), e as partes em t^{2} também se cancelaram no produto escalar, tornando a integral fácil de calcular à mão — exatamente o tipo de simplificação que vale a pena procurar numa prova.
  • Bom trabalho por ter chegado até aqui; se estiver cansado, respira e confere os passos com calma que tudo bate certinho.

Resposta

\;12

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