Calcule as integrais abaixo utilizando as técnicas de integração estudadas.
integral2^3 2 x^3 e^x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida integral2^3 2 x^3 e^x^2 , dx. O que precisamos aqui é usar técnicas de integração, especificamente a troca de variável e a integração por partes. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral usando uma substituição. Vamos definir uma nova variável para facilitar:
u = x^2
Agora, derivamos u em relação a x :
dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx
Perceba que na nossa integral temos 2x^3 , dx . Podemos reescrever isso como:
2x^3 , dx = 2x cdot x^2 , dx = u cdot x , dx
Mas já temos du = 2x , dx , então:
x , dx = du2
Substituindo na expressão anterior:
2x^3 , dx = u cdot du2 = u , du2
Mas para simplificar, vamos reescrever a integral inteira em termos de u :
integral2^3 2 x^3 e^x^2 , dx = integralu(2)^u(3) u e^u , du
Calculando os novos limites de integração:
u(2) = 2^2 = 4
u(3) = 3^2 = 9
Então, a integral fica:
integral4^9 u e^u , du

Passo 3

Agora, vamos resolver integral u e^u , du usando a técnica de integração por partes. A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher:
u = u Rightarrow du = du
dv = e^u , du Rightarrow v = e^u
Aplicando a fórmula:
integral u e^u , du = u e^u - integral e^u , du = u e^u - e^u + C
= e^u (u - 1) + C

Passo 4

Agora, voltamos aos limites de integração originais (4 a 9):
integral4^9 u e^u , du = [ e^u (u - 1) ]4^9
= e^9 (9 - 1) - e^4 (4 - 1)
= 8 e^9 - 3 e^4

Resposta

A integral integral2^3 2 x^3 e^x^2 , dx é igual a 8 e^9 - 3 e^4.

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