Calcule as integrais abaixo utilizando as técnicas de integração estudadas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente precisa calcular a integral definida de $ \frac{2x + 4}{2x^{2} + 3x + 1} $ de 0 a 1. Isso envolve integrar uma função racional, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos usar a técnica de frações parciais, que ajuda a decompor a fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador $ 2x^{2} + 3x + 1 $. A fatoração facilita a decomposição em frações parciais. Procuramos dois números que multiplicados dão 2 (coeficiente de $ x^2 $) e 1 (termo constante) e que somados dão 3 (coeficiente de $ x $).
Fatorando:
Passo 3
Agora que temos o denominador fatorado, expressamos a fração $ \frac{2x + 4}{(2x + 1)(x + 1)} $ como a soma de duas frações menores:
Aqui, $ A $ e $ B $ são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Para achar $ A $ e $ B $, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum $ (2x + 1)(x + 1) $:
Expandindo os termos:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
- Para $ x $: $ A + 2B = 2 $
- Para o termo constante: $ A + B = 4 $
Resolvendo esse sistema de equações:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Substituindo $ B = -2 $ na segunda equação:
Passo 6
Com $ A = 6 $ e $ B = -2 $, a decomposição em frações parciais fica:
Passo 7
Agora, substituímos na integral original:
Isso pode ser separado em duas integrais:
Passo 8
Vamos integrar cada parte:
- Para $ \int \frac{1}{2x + 1} dx $, fazemos uma substituição simples. Seja $ u = 2x + 1 $, então $ du = 2 dx $ ou $ dx = \frac{du}{2} $. A integral fica:
- Para $ \int \frac{1}{x + 1} dx $, a integral é direta:
Passo 9
Aplicando os limites de integração:
Simplificando:
Como $ \ln(1) = 0 $, temos:
Resposta
O valor da integral é $ 3 \ln(3) - 2 \ln(2) $.