Calcule as integrais abaixo utilizando as técnicas de integração estudadas.
integral0^1 2 x+42 x^2+3 x+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente precisa calcular a integral definida de $ \frac{2x + 4}{2x^{2} + 3x + 1} $ de 0 a 1. Isso envolve integrar uma função racional, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos usar a técnica de frações parciais, que ajuda a decompor a fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador $ 2x^{2} + 3x + 1 $. A fatoração facilita a decomposição em frações parciais. Procuramos dois números que multiplicados dão 2 (coeficiente de $ x^2 $) e 1 (termo constante) e que somados dão 3 (coeficiente de $ x $).
Fatorando:
2x^2 + 3x + 1

Passo 3

Agora que temos o denominador fatorado, expressamos a fração $ \frac{2x + 4}{(2x + 1)(x + 1)} $ como a soma de duas frações menores:
2x + 4(2x + 1)(x + 1)
Aqui, $ A $ e $ B $ são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para achar $ A $ e $ B $, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum $ (2x + 1)(x + 1) $:
A
Expandindo os termos:
B
Agrupando os termos semelhantes:
(2x + 1)(x + 1)

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
  1. Para $ x $: $ A + 2B = 2 $
  2. Para o termo constante: $ A + B = 4 $
Resolvendo esse sistema de equações:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
x
Substituindo $ B = -2 $ na segunda equação:
A + 2B = 2

Passo 6

Com $ A = 6 $ e $ B = -2 $, a decomposição em frações parciais fica:
A = 6

Passo 7

Agora, substituímos na integral original:
integral0^1 2x + 42x^2 + 3x + 1 dx = integral0^1 ( 62x + 1 - 2x + 1 ) dx
Isso pode ser separado em duas integrais:
6 integral0^1 12x + 1 dx - 2 integral0^1 1x + 1 dx

Passo 8

Vamos integrar cada parte:
  1. Para $ \int \frac{1}{2x + 1} dx $, fazemos uma substituição simples. Seja $ u = 2x + 1 $, então $ du = 2 dx $ ou $ dx = \frac{du}{2} $. A integral fica:
integral 12x + 1 dx
  1. Para $ \int \frac{1}{x + 1} dx $, a integral é direta:
u = 2x + 1

Passo 9

Aplicando os limites de integração:
6 [ 12 ln|2x + 1| ]0^1 - 2 [ ln|x + 1| ]0^1
Simplificando:
3 [ ln(3) - ln(1) ] - 2 [ ln(2) - ln(1) ]
Como $ \ln(1) = 0 $, temos:
ln(1) = 0

Resposta

O valor da integral é $ 3 \ln(3) - 2 \ln(2) $.

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