Calcule as integrais abaixo utilizando as técnicas de integração estudadas.
integralln (2)^ln (4) x e^x d x

Passo 1

O enunciado pede a integral definida
integralln(2)^ln(4) x,e^x,dx
O conteúdo é integração por partes, pois precisamos integrar o produto de x por e^x.

Passo 2

Aplicamos a fórmula de integração por partes
integral u,dv = u,v - integral v,du
escolhendo
u = x, dv = e^x,dx
du = dx, v = e^x
Logo, uma antiderivada de x e^x é
integral x,e^x,dx = x,e^x - integral e^x,dx = x,e^x - e^x + C = e^x,(x - 1) + C

Passo 3

Defina F(x)=e^x,(x-1). Então
F(ln(4)) = e^ln(4)l(ln(4)-1r) = 4l(ln(4)-1r),
F(ln(2)) = e^ln(2)l(ln(2)-1r) = 2l(ln(2)-1r)

Passo 4

Compute a diferença
F(ln(4)) - F(ln(2)) =4ln(4)-4 ;-;l(2ln(2)-2r) =4cdot2ln(2)-4 -2ln(2)+2 =6ln(2)-2

Resposta

6ln(2)-2

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