Considere a região ilimitada D entre o gráfico da função y=ln xx e o eixo x para x >= 1.
Agora, giramos a região R em torno do eixo x para formar um sólido de revolução. Calcule o volume do sólido ou determine se o sólido tem volume infinito.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região ilimitada entre o gráfico de y=ln xx e o eixo x para x>=1. O conteúdo principal é o método dos discos para volumes de revolução e avaliação de integral imprópria.

Passo 2

Pelo método dos discos, o volume é dado por
V = pi integral1^infty l(yr)^2,dx = pi integral1^infty (ln xx)^2 dx

Passo 3

Devemos interpretar isso como uma integral imprópria, ou seja,
V = pi limRtoinfty integral1^R (ln x)^2x^2,dx

Passo 4

Para calcular integral1^infty (ln x)^2x^2,dx, fazemos a troca de variável
t = ln x, x = e^t, dx = e^t dt
Quando x=1 então t=0; quando xtoinfty então ttoinfty. A integral vira
integral1^infty (ln x)^2x^2,dx = integral0^infty t^2e^2t,e^t dt = integral0^infty t^2 e^-t dt

Passo 5

Reconhecemos integral0^infty t^2 e^-t dt como a função Gama de parâmetro 3, isto é,
integral0^infty t^2 e^-t dt = Gamma(3) = 2! = 2
Logo,
integral1^infty (ln x)^2x^2,dx = 2

Passo 6

Então o volume do sólido é
V = pi times 2 = 2pi

Resposta

2\pi

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