Considere a região ilimitada
entre o gráfico da função
e o eixo x para
.
Agora, giramos a região
em torno do eixo x para formar um sólido de revolução. Calcule o volume do sólido ou determine se o sólido tem volume infinito.
Agora, giramos a região
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região ilimitada entre o gráfico de
e o eixo x para
. O conteúdo principal é o método dos discos para volumes de revolução e avaliação de integral imprópria.
Passo 2
Pelo método dos discos, o volume é dado por
Passo 3
Devemos interpretar isso como uma integral imprópria, ou seja,
Passo 4
Para calcular
, fazemos a troca de variável
Quando
então
; quando
então
. A integral vira
Passo 5
Reconhecemos
como a função Gama de parâmetro 3, isto é,
Logo,
Passo 6
Então o volume do sólido é
Resposta
2\pi