Desenhe as curvas de nível para as funções abaixo:
4 z+2 y^2-x=0 para c=0 ; c=-2 ; c=-1 ; c=1 ; c=2

Passo 1

O enunciado pede as curvas de nível da superfície dada por
4z + 2y^2 - x = 0
para os valores de nível c = 0, -2, -1, 1, 2.
Conteúdo: nivelamento de superfícies em cálculo multivariável.
O que vamos fazer: expressar z em função de (x,y), impor z=c e obter a equação em (x,y) de cada curva de nível.

Passo 2

Isolamos z na equação da superfície:
4z + 2y^2 - x = 0 Longrightarrow 4z = x - 2y^2 Longrightarrow z = x - 2y^24

Passo 3

Para achar a curva de nível de valor c, basta impor
z = c Longrightarrow x - 2y^24 = c Longrightarrow x - 2y^2 = 4c

Passo 4

Reescrevendo:
x = 2y^2 + 4c
Isto é uma família de parábolas no plano xy, todas com concavidade voltada para a direita e vértice em (4c,0).

Passo 5

Substituímos os valores de c:
  • Para c=0: x = 2y^2
  • Para c=-2: x = 2y^2 - 8
  • Para c=-1: x = 2y^2 - 4
  • Para c=1: x = 2y^2 + 4
  • Para c=2: x = 2y^2 + 8

Resposta

As curvas de nível são as parábolas no plano
Cada uma com vértice em , abrindo para a direita.

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