Encontre a equação reduzida (no formato y=mx+b ) da reta tangente à curva no ponto correspondente ao valor dado de t.
x=t^4+1, y=t^3+t, t=-1

Passo 1

O enunciado pede a equação reduzida da reta tangente à curva paramétrica definida por
x(t)=t^4+1,
y(t)=t^3+t
no ponto em que o parâmetro vale t=-1. Vamos usar derivadas de curvas paramétricas para achar a inclinação da reta tangente e depois aplicar a forma ponto-inclinação para obter y=mx+b.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas em relação a t:
dxdt=4t^3,
dydt=3t^2+1
A inclinação da reta tangente é
dydx=dydtdxdt=3t^2+14t^3
Em t=-1 temos
dydt|t=-1=3cdot1+1=4,
dxdt|t=-1=4cdot(-1)^3=-4,
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dydx|t=-1=4-4=-1

Passo 3

Agora encontramos o ponto de tangência: em t=-1
x(-1)=(-1)^4+1=2,
y(-1)=(-1)^3+(-1)=-2
Usando a forma ponto-inclinação y-y0=m(x-x0) com m=-1 e (x0,y0)=(2,-2):
y+2=-1,(x-2)
Simplificando:
y+2=-x+2
y=-x

Resposta

y=-x

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