Considere a região ilimitada D entre o gráfico da função y=ln xx e o eixo x para x >= 1.
Encontre a área da região R ou determine se R tem área infinita.

Passo 1

O enunciado pede a área da região R limitada pelo gráfico de y=ln xx e o eixo x, para x>=1. Isso envolve calcular uma integral imprópria da forma
integral1^inftyln xx,dx
Vamos usar o conceito de integral imprópria e o Teorema Fundamental do Cálculo para verificar se essa área converge ou diverge.

Passo 2

Escrevemos a área como integral imprópria:
Área(R)=integral1^inftyln xx,dx =limAtoinftyintegral1^Aln xx,dx Á

Passo 3

Para calcular integralln xx,dx, fazemos a substituição natural u=ln x, de modo que du=1x,dx. Então
integralln xx,dx =integral u,du =u^22+C =(ln x)^22+C

Passo 4

Agora avaliamos o limite impróprio:
limAtoinftyintegral1^Aln xx,dx =limAtoinfty[(ln x)^22]1^A =limAtoinfty(ln A)^22-(ln 1)^22 =limAtoinfty(ln A)^22
Como ln Atoinfty quando Atoinfty, esse limite diverge para infinito.

Resposta

A área da região R é infinita.

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