Calcule as integrais abaixo utilizando as técnicas de integração estudadas.
integralpi / 4^3 pi / 4 sen(x) cos (x) d x

Passo 1

Nesse exercício vamos calcular a integral definida integralpi/4^3pi/4 sin(x)cos(x),dx. O conteúdo é integração de funções trigonométricas e vamos usar a fórmula de ângulo duplo e as regras básicas de integração.

Passo 2

Usamos a identidade trigonométrica sin(x)cos(x)=tfrac12sin(2x) para simplificar o integrando. Assim reescrevemos a integral como
integralpi/4^3pi/4 sin(x)cos(x),dx = tfrac12 integralpi/4^3pi/4 sin(2x),dx

Passo 3

Para integrar sin(2x) aplicamos a regra integralsin(a x),dx = -tfrac1acos(a x). Logo
tfrac12 integral sin(2x),dx = tfrac12l(-tfrac12cos(2x)r) = -tfrac14cos(2x)

Passo 4

Agora avaliamos essa antiderivada nos limites de x=pi/4 a x=3pi/4. Temos
F(3pi/4) = -tfrac14cosl(2cdot3pi/4r) = -tfrac14cos(3pi/2) = 0,
F(pi/4) = -tfrac14cosl(2cdotpi/4r) = -tfrac14cos(pi/2) = 0
A diferença F(3pi/4)-F(pi/4) é 0-0=0.

Resposta

0

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