Resolva as integrais improprias abaixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral imprópria
. Aqui, estamos lidando com funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver essa integral, vamos precisar usar integração por partes e entender um pouco sobre integrais que vão até o infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
pode ser representada usando números complexos, mas uma maneira mais direta é usar a fórmula de integração por partes. A integração por partes é uma técnica que nos permite integrar o produto de duas funções. A fórmula é:
Vamos identificar
e
na nossa integral.
Passo 3
Escolhemos:
Então, precisamos encontrar
e
:
(Ao integrar
, obtemos
.)
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Simplificando:
Passo 5
Agora, precisamos resolver a nova integral
. Vamos aplicar novamente a integração por partes, deixando:
Então:
Passo 6
Aplicando a integração por partes na nova integral:
Simplificando:
Passo 7
Agora, substituímos de volta na equação anterior:
Juntando os termos:
Passo 8
Agora, somamos
dos dois lados para isolar a integral:
Dividindo ambos os lados por 2:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Agora, precisamos avaliar a integral definida de 0 até
:
Vamos calcular os limites.
Passo 10
Primeiro, ao
:
Portanto, o produto
.
Agora, em
:
Então: