Resolva as integrais improprias abaixo
integral0^infty e^-x sin (x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral imprópria integral0^infty e^-x sin(x) , dx. Aqui, estamos lidando com funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver essa integral, vamos precisar usar integração por partes e entender um pouco sobre integrais que vão até o infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que sin(x) pode ser representada usando números complexos, mas uma maneira mais direta é usar a fórmula de integração por partes. A integração por partes é uma técnica que nos permite integrar o produto de duas funções. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos identificar u e dv na nossa integral.

Passo 3

Escolhemos:
u = sin(x) e dv = e^-x , dx
Então, precisamos encontrar du e v:
du = cos(x) , dx e v = -e^-x
(Ao integrar dv = e^-x , dx, obtemos v = -e^-x.)

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral e^-x sin(x) , dx = -e^-x sin(x) - integral (-e^-x) cos(x) , dx
Simplificando:
= -e^-x sin(x) + integral e^-x cos(x) , dx

Passo 5

Agora, precisamos resolver a nova integral integral e^-x cos(x) , dx. Vamos aplicar novamente a integração por partes, deixando:
u = cos(x) e dv = e^-x , dx
Então:
du = -sin(x) , dx e v = -e^-x

Passo 6

Aplicando a integração por partes na nova integral:
integral e^-x cos(x) , dx = -e^-x cos(x) - integral (-e^-x) (-sin(x)) , dx
Simplificando:
= -e^-x cos(x) - integral e^-x sin(x) , dx

Passo 7

Agora, substituímos de volta na equação anterior:
integral e^-x sin(x) , dx = -e^-x sin(x) + ( -e^-x cos(x) - integral e^-x sin(x) , dx )
Juntando os termos:
integral e^-x sin(x) , dx = -e^-x sin(x) - e^-x cos(x) - integral e^-x sin(x) , dx

Passo 8

Agora, somamos integral e^-x sin(x) , dx dos dois lados para isolar a integral:
2 integral e^-x sin(x) , dx = -e^-x (sin(x) + cos(x))
Dividindo ambos os lados por 2:
integral e^-x sin(x) , dx = -12 e^-x (sin(x) + cos(x)) + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 9

Agora, precisamos avaliar a integral definida de 0 até infty:
integral0^infty e^-x sin(x) , dx = [ -12 e^-x (sin(x) + cos(x)) ]0^infty
Vamos calcular os limites.

Passo 10

Primeiro, ao x to infty:
e^-x to 0 e (sin(x) + cos(x)) oscila entre -2 e 2
Portanto, o produto e^-x (sin(x) + cos(x)) to 0.
Agora, em x = 0:
e^0 = 1 e sin(0) = 0, cos(0) = 1
Então:
-12 (0 + 1) = -12

Resposta

12

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