Resolva as integrais improprias abaixo
integral0^1 ln (x)raiz[3]x d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral imprópria de 0 a 1 de ln(x)raiz[3]x,dx. O conteúdo é teoria de integrais impróprias e vamos usar integração por partes e verificar a convergência no limite em zero.

Passo 2

Primeiro, analisamos a convergência em x=0. Para xto0^+, temos ln(x)to-infty e x^-1/3to+infty, mas o produto x^2/3ln(x) tende a 0, garantindo que a integral seja própria após anular o singular por integração por partes.
Escolhemos integração por partes com u=ln(x) e dv=x^-1/3dx. Então
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du=dxx, v=integral x^-1/3dx=32x^2/3

Passo 3

Aplicando a fórmula de partes:
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integral0^1u,dv=lu vr|0^1-integral0^1v,du

Passo 4

O termo de contorno é
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lln(x)cdot32x^2/3r|0^1=ln(1)cdot32cdot1-limxto0^+ln(x)32x^2/3=0-0=0

Passo 5

Logo, ficamos com
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integral0^1ln(x)x^1/3dx=-integral0^132x^2/3cdot1xdx=-32integral0^1x^-1/3dx

Passo 6

Calculando a integral restante:
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integral0^1x^-1/3dx=x^2/32/3|0^1=32,l(1-0r)=32

Passo 7

Portanto,
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integral0^1ln(x)raiz[3]xdx=-32cdot32=-94

Resposta

-\nfrac{9}{4}

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