Exercício 4 - Calcule as integrais:
\iint_{D} x y \sqrt{x^{2}+y^{2}} d A, em que D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; x^{2}+y^{2} \leq 4\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} x\,y\,\sqrt{x^{2}+y^{2}}\;dA
onde D é o disco \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le4\}.
O conteúdo principal aqui é o uso de coordenadas polares para integrar sobre um disco.

Passo 2

Em coordenadas polares usamos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dA = r\,dr\,d\theta,
e o disco D fica descrito por
0 \le r \le 2,\quad 0 \le \theta \le 2\pi.

Passo 3

Expressamos o integrando em polares:
x\,y\,\sqrt{x^{2}+y^{2}} = (r\cos\theta)(r\sin\theta)\bigl(r\bigr) = r^{3}\cos\theta\,\sin\theta.
Multiplicando por dA obtemos
r^{3}\cos\theta\,\sin\theta\;\bigl(r\,dr\,d\theta\bigr) = r^{4}\cos\theta\,\sin\theta\;dr\,d\theta.

Passo 4

Separamos a integral em parte radial e parte angular:
\iint_{D}x\,y\,\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dA =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{2}r^{4}\cos\theta\,\sin\theta\;dr\,d\theta =\Bigl(\int_{0}^{2}r^{4}dr\Bigr)\Bigl(\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,\sin\theta\,d\theta\Bigr).

Passo 5

Calculamos cada fator:
\int_{0}^{2}r^{4}dr =\left.\frac{r^{5}}{5}\right|_{0}^{2} =\frac{32}{5},
e como \cos\theta\,\sin\theta=\tfrac12\sin(2\theta),
\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,\sin\theta\,d\theta =\frac12\int_{0}^{2\pi}\sin(2\theta)\,d\theta =0.

Passo 6

Multiplicando os resultados, a integral total é
\frac{32}{5}\times 0 = 0.

Resposta

A integral vale 0.

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