Calcule as integrais abaixo e verifique sua resposta calculando a derivada do resultado:
Passo 1
O que o enunciado pede e quais informações temos:
- Pede para calcular a integral indefinida
- Depois pede para verificar a resposta calculando a derivada do resultado.
- Informação importante: a variável de integração é
.
Passo 2
Ideia e regras que vamos usar (aulas rápidas e práticas):
- Linearidade da integral: para quaisquer funções
e e constantes e ,
Isto significa que podemos separar a integral dada em duas integrais mais simples.
- Regra da potência (antiderivada): para
,
onde
é a constante de integração.
- Antiderivada do exponencial: para a função exponencial,
Vou aplicar essas regras passo a passo ao integrando
.
Passo 3
Separar a integral usando linearidade:
Aqui usei que
e distribui o sinal de menos.
Passo 4
Calcular a primeira integral
.
- Primeiro, posso tirar a constante
para fora da integral:
- Agora aplico a regra da potência com
:
- Portanto
Passo 5
Calcular a segunda integral
.
- Já sabemos a primitiva do exponencial:
Passo 6
Juntar os resultados e incluir a constante de integração:
- Somando as partes obtidas:
onde
é uma constante arbitrária.
Passo 7
Verificação: calcular a derivada do resultado para confirmar que volta ao integrando.
-
Seja
. Vamos derivar termo a termo. -
Derivada de
:
pela regra da potência (derivada de
é
).
- Derivada de
:
pois
.
- Derivada da constante
é zero:
- Somando as derivadas:
que é exatamente o integrando. Portanto a antiderivada está correta.