Calcule as integrais abaixo e verifique sua resposta calculando a derivada do resultado:
\int\left(2 x-e^{x}\right) d x

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações temos:
  • Pede para calcular a integral indefinida
\int\left(2x-e^{x}\right)\,dx.
  • Depois pede para verificar a resposta calculando a derivada do resultado.
  • Informação importante: a variável de integração é x.

Passo 2

Ideia e regras que vamos usar (aulas rápidas e práticas):
  • Linearidade da integral: para quaisquer funções f e g e constantes a e b,
\int\big(a f(x)+b g(x)\big)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx.
Isto significa que podemos separar a integral dada em duas integrais mais simples.
  • Regra da potência (antiderivada): para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é a constante de integração.
  • Antiderivada do exponencial: para a função exponencial,
\int e^{x}\,dx = e^{x}+C.
Vou aplicar essas regras passo a passo ao integrando 2x-e^{x}.

Passo 3

Separar a integral usando linearidade:
\int\left(2x-e^{x}\right)\,dx = \int 2x\,dx - \int e^{x}\,dx.
Aqui usei que a=1 e distribui o sinal de menos.

Passo 4

Calcular a primeira integral \int 2x\,dx.
  • Primeiro, posso tirar a constante 2 para fora da integral:
\int 2x\,dx = 2\int x\,dx.
  • Agora aplico a regra da potência com n=1:
\int x\,dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^{2}}{2}.
  • Portanto
2\int x\,dx = 2\cdot\frac{x^{2}}{2} = x^{2}.

Passo 5

Calcular a segunda integral \int e^{x}\,dx.
  • Já sabemos a primitiva do exponencial:
\int e^{x}\,dx = e^{x}.

Passo 6

Juntar os resultados e incluir a constante de integração:
  • Somando as partes obtidas:
\int\left(2x-e^{x}\right)\,dx = x^{2} - e^{x} + C,
onde C é uma constante arbitrária.

Passo 7

Verificação: calcular a derivada do resultado para confirmar que volta ao integrando.
  • Seja F(x)=x^{2}-e^{x}+C. Vamos derivar termo a termo.
  • Derivada de x^{2}:
\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)=2x,
pela regra da potência (derivada de x^{n} é n x^{n-1}).
  • Derivada de -e^{x}:
\frac{d}{dx}\big(-e^{x}\big) = -\frac{d}{dx}\big(e^{x}\big) = -e^{x},
pois \frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
  • Derivada da constante C é zero:
\frac{d}{dx}C=0.
  • Somando as derivadas:
F'(x) = 2x - e^{x} + 0 = 2x - e^{x},
que é exatamente o integrando. Portanto a antiderivada está correta.

Resposta

x^{2}-e^{x}+C

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