Calcule as integrais através da decomposição em frações parciais:
f(x)=\frac{6}{x^{2}-9}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a(s) integral(is) de f(x)=\dfrac{6}{x^{2}-9} usando decomposição em frações parciais. Informação dada:
  • A função a integrar é f(x)=\dfrac{6}{x^{2}-9}.
  • A tarefa é encontrar uma primitiva (integral indefinida) \displaystyle \int f(x)\,dx.

Passo 2

Observar e fatorar o denominador. Reconhece-se uma diferença de quadrados:
x^{2}-9=(x-3)(x+3).

Passo 3

Como o denominador fatorou-se em dois fatores lineares distintos, propõe-se uma decomposição em frações parciais do tipo
\frac{6}{(x-3)(x+3)}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+3},
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por (x-3)(x+3) obtemos uma identidade em x:
6 = A(x+3)+B(x-3).
Para achar A e B podemos escolher valores de x que anulem termos:
  • Tomando x=3:
6 = A(3+3)+B(0)\quad\Rightarrow\quad 6=6A\quad\Rightarrow\quad A=1.
  • Tomando x=-3:
6 = A(0)+B(-3-3)\quad\Rightarrow\quad 6=-6B\quad\Rightarrow\quad B=-1.

Passo 5

Substituindo A e B na decomposição, obtemos
\frac{6}{x^{2}-9}=\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+3}.
(Fácil de checar revertendo a soma para um denominador comum.)

Passo 6

Integramos termo a termo usando a fórmula básica \displaystyle \int\frac{1}{x-a}\,dx=\ln\!\big|x-a\big|+C, cuja justificativa rápida é que \dfrac{d}{dx}\ln|x-a|=\dfrac{1}{x-a}.
Portanto
\int \frac{6}{x^{2}-9}\,dx =\int\left(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+3}\right)dx =\ln\big|x-3\big|-\ln\big|x+3\big|+C_1,
onde C_1 é constante de integração.

Passo 7

Aplicando a propriedade dos logaritmos para simplificar, obtemos a forma compacta da primitiva:
\ln\big|x-3\big|-\ln\big|x+3\big|= \ln\!\left|\frac{x-3}{x+3}\right|.
Então a integral pode ser escrita como \displaystyle \ln\!\left|\frac{x-3}{x+3}\right|+C.

Resposta

\displaystyle \ln\!\left|\frac{x-3}{x+3}\right|+C

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