Calcule as integrais através da decomposição em frações parciais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a(s) integral(is) de
usando decomposição em frações parciais. Informação dada:
- A função a integrar é
. - A tarefa é encontrar uma primitiva (integral indefinida)
.
Passo 2
Observar e fatorar o denominador. Reconhece-se uma diferença de quadrados:
Passo 3
Como o denominador fatorou-se em dois fatores lineares distintos, propõe-se uma decomposição em frações parciais do tipo
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por
obtemos uma identidade em
:
Para achar
e
podemos escolher valores de
que anulem termos:
- Tomando
:
- Tomando
:
Passo 5
Substituindo
e
na decomposição, obtemos
(Fácil de checar revertendo a soma para um denominador comum.)
Passo 6
Integramos termo a termo usando a fórmula básica
, cuja justificativa rápida é que
.
Portanto
Portanto
onde
é constante de integração.
Passo 7
Aplicando a propriedade dos logaritmos para simplificar, obtemos a forma compacta da primitiva:
Então a integral pode ser escrita como
.