Calcule as integrais.
Calcule
lim x 3(xx-3 integral3^x sen tt d t)

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule
limxto3l(xx-3integral3^xsin tt,dtr)
O conteúdo envolvido é limite de uma expressão que dá uma forma indeterminada 0/0 e podemos usar a Regra de L’Hôpital junto com o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Definimos
N(x)=xintegral3^xsin tt,dt e D(x)=x-3
Quando xto3 temos integral3^3sin tt,dt=0, logo N(3)=0 e D(3)=0. É, portanto, uma indeterminação 0/0.

Passo 3

Pela Regra de L’Hôpital,
limxto3N(x)D(x) =limxto3N'(x)D'(x)
Calculamos N'(x) usando derivada de produto e o Teorema Fundamental do Cálculo:
N'(x) =ddxl[xcdotunderbraceintegral3^xsin tt,dtI(x)r] =I(x)+x,I'(x) =I(x)+xcdotsin xx =I(x)+sin x
E D'(x)=1.

Passo 4

Assim,
limxto3N'(x)D'(x) =limxto3l(I(x)+sin xr) =I(3)+sin3 =0+sin3 =sin3,
pois I(3)=integral3^3sin tt,dt=0.

Resposta

sin3

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