Calcule as integrais em coordenadas cilindricas nos exercícios 1-6.
2. \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{3} \int_{r^{2} / 3}{\sqrt{18-r{2}}} d z r d r d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral em coordenadas cilíndricas
integraltheta=0^2piintegralr=0^3integralz=r^2/3^raiz18-r^21;dz,r,dr,dtheta
Aqui o conteúdo é a integração múltipla em coordenadas cilíndricas, e vamos usar integração iterada e substituição simples.

Passo 2

Primeiro integramos em z, que é imediato:
integralz=r^2/3^raiz18-r^2dz =raiz18-r^2-r^23
Logo a integral vira
integral0^2pidtheta;integral0^3!rl(raiz18-r^2-r^23r),dr

Passo 3

Separamos a parte radial em duas integrais:
Ir =integral0^3rraiz18-r^2,dr ;-;integral0^3r^33,dr

Passo 4

Para A=integral0^3rraiz18-r^2,dr, usamos u=18-r^2, du=-2r,dr, logo
A =12integralu=18^u=9(-)raizu,du =12integral9^18raizu,du =12cdot23l[u^3/2r]9^18 =13l((18)^3/2-(9)^3/2r)
Como (18)^3/2=(3raiz2)^3=54raiz2 e (9)^3/2=27, vem
A= 13(54raiz2-27)=18raiz2-9

Passo 5

Para B=integral0^3r^33,dr temos
B=13cdotr^44|0^3 =13cdot814 =274
Portanto
Ir=A-B=(18raiz2-9)-274 =18raiz2-36+274 =18raiz2-634

Passo 6

Falta multiplicar por integral0^2pidtheta=2pi. Assim a integral total é
I=2pi;Ir =2pil(18raiz2-634r) =36piraiz2-63pi2

Resposta

36piraiz2-63pi2

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