Determine as derivadas parciais indicadas.
f(x, y)=x e^-y+3 y ; partial fpartial y(1,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a derivada parcial de em relação a no ponto . Isso envolve um pouco de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função de várias variáveis, como , a derivada parcial em relação a uma dessas variáveis (nesse caso, ) mostra como a função muda quando apenas essa variável varia, mantendo as outras constantes.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f(x, y) = x e^-y + 3y em relação a . A função é:
Para derivar em relação a , tratamos como uma constante.

Passo 4

Vamos derivar cada termo separadamente:
  1. Primeiro termo: partialpartial y (x e^-y) = -x e^-y
    A derivada de partialpartial y (3y) = 3 em relação a é . Então, multiplicando pelo coeficiente :
  2. Segundo termo:
    A derivada de em relação a é simplesmente :

Passo 5

Agora, juntando as derivadas dos dois termos:
partial fpartial y = -x e^-y + 3

Passo 6

Finalmente, vamos avaliar essa derivada no ponto partial fpartial y(1, 0) = -1 cdot e^-0 + 3 = -1 cdot 1 + 3 = -1 + 3 = 2 . Substituindo e na expressão:

Resposta

A derivada parcial de em relação a no ponto é .

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