Calcule as integrais curvilíneas integralC f(x, y) d s, integralC f(x, y) d x e integralC f(x, y) d y para C com a parametrização dada.
f(x, y)=x y^2 / 5, x=t2, y=t^5 / 2 ; 0 <= t <= 1

Passo 1

O enunciado pede calcular as integrais
integralCf(x,y),ds, integralCf(x,y),dx e integralCf(x,y),dy
para a curva C dada pela parametrização
x(t)=t2, y(t)=t^5/2, 0<= t<=1
O conteúdo envolve integrais de linha de primeira espécie (com ds) e de segunda espécie (com dx e dy).

Passo 2

Substituímos na função
f(x,y)=x,y^2/5
as expressões de x(t) e y(t):
fl(x(t),y(t)r) =t2,l(t^5/2r)^2/5 =t2,t^(5/2)cdot(2/5) =t2,t =t^22

Passo 3

Para integralCf,ds usamos
ds=llvert r'(t)rrvert,dt, r'(t)=l(tfrac12,;tfrac52t^3/2r),
llvert r'(t)rrvert =raizl(tfrac12r)^2+l(tfrac52t^3/2r)^2 =12raiz1+25,t^3
Logo,
integralCf,ds =integral0^1t^22cdot12raiz1+25,t^3,dt =14integral0^1t^2raiz1+25,t^3,dt
Fazemos a substituição
u=1+25,t^3, du=75,t^2,dt Rightarrow t^2,dt=du75, u(0)=1,;u(1)=26,
integral0^1t^2raiz1+25,t^3,dt =integral1^26u^1/2,du75 =175,23l[u^3/2r]1^26 =2225l(26^3/2-1r)
Portanto,
integralCf,ds =14cdot2225l(26^3/2-1r) =26raiz26-1450

Passo 4

Para integralCf,dx usamos dx=x'(t),dt com x'(t)=tfrac12:
integralCf,dx =integral0^1t^22cdot12,dt =14integral0^1t^2,dt =14,13 =112

Passo 5

Para integralCf,dy usamos dy=y'(t),dt com y'(t)=tfrac52t^3/2:
integralCf,dy =integral0^1t^22cdot52t^3/2,dt =54integral0^1t^7/2,dt =54,29 =518

Resposta

integralCf,ds=26raiz26-1450, integralCf,dx=112, integralCf,dy=518

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