Calcule as integrais curvilíneas integralC f(x, y) d s, integralC f(x, y) d x e integralC f(x, y) d y para C com a parametrização dada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular três integrais curvilíneas: integralC f(x, y) , ds, integralC f(x, y) , dx e integralC f(x, y) , dy. A matéria envolvida aqui é cálculo vetorial, especificamente integrais ao longo de curvas no plano. Para resolver isso, vamos precisar da parametrização da curva C, que é uma forma de descrever C usando uma variável, geralmente t, variando em um intervalo específico.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é uma parametrização. Suponha que a curva C seja descrita por funções x(t) e y(t), onde t varia de a a b. Isso significa que para cada valor de t, temos um ponto (x(t), y(t)) na curva C.

Passo 3

Agora, vamos ver a integral integralC f(x, y) , ds. Aqui, ds representa um elemento de arco na curva, ou seja, uma pequena parte da trajetória. Para calcular isso, usamos a fórmula:
ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt
Então, a integral fica:
integralC f(x, y) , ds = integrala^b f(x(t), y(t)) raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt

Passo 4

Agora, vamos para integralC f(x, y) , dx. Nesse caso, dx é a pequena variação em x ao longo da curva. Usamos a relação dx = dxdt , dt, então a integral fica:
integralC f(x, y) , dx = integrala^b f(x(t), y(t)) dxdt , dt

Passo 5

Por fim, temos integralC f(x, y) , dy. Similarmente ao caso anterior, dy = dydt , dt, então a integral será:
integralC f(x, y) , dy = integrala^b f(x(t), y(t)) dydt , dt

Resposta

Portanto, as integrais curvilíneas para a curva C parametrizada por x(t) e y(t), com t variando de a a b, são:
integralC f(x, y) , ds = integrala^b f(x(t), y(t)) raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt
integralC f(x, y) , dx = integrala^b f(x(t), y(t)) dxdt , dt
integralC f(x, y) , dy = integrala^b f(x(t), y(t)) dydt , dt

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