Calcule as integrais curvilíneas
e
para C com a parametrização dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular três integrais curvilíneas:
,
e
. A matéria envolvida aqui é cálculo vetorial, especificamente integrais ao longo de curvas no plano. Para resolver isso, vamos precisar da parametrização da curva
, que é uma forma de descrever
usando uma variável, geralmente
, variando em um intervalo específico.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é uma parametrização. Suponha que a curva
seja descrita por funções
e
, onde
varia de
a
. Isso significa que para cada valor de
, temos um ponto
na curva
.
Passo 3
Agora, vamos ver a integral
. Aqui,
representa um elemento de arco na curva, ou seja, uma pequena parte da trajetória. Para calcular isso, usamos a fórmula:
Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos para
. Nesse caso,
é a pequena variação em
ao longo da curva. Usamos a relação
, então a integral fica:
Passo 5
Por fim, temos
. Similarmente ao caso anterior,
, então a integral será:
Resposta
Portanto, as integrais curvilíneas para a curva
parametrizada por
e
, com
variando de
a
, são: