Nos exercícios de 2 a 20, calcule a integral de linha ao longo de C .
integralC x y d s, onde C é a elipse x^24+y^29=1.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha de função escalar ao longo da curva C, ou seja,
integralC x,y,ds,
onde C é a elipse x^24+y^29=1. O conteúdo aqui é a parametrização de uma curva fechada e o uso do elemento de arco ds.

Passo 2

Parametrizamos a elipse de forma clássica usando o parâmetro t:
x(t)=2cos t, y(t)=3sin t, 0<= t<= 2pi
Calculamos as derivadas
dxdt=-2sin t, dydt=3cos t

Passo 3

O elemento de arco é
ds=raizl(dxdtr)^2+l(dydtr)^2;dt =raiz4sin^2t+9cos^2t;dt

Passo 4

Substituindo na integral, temos
x(t),y(t),ds =2cos t;cdot3sin t;cdotraiz4sin^2t+9cos^2t;dt =6cos t,sin t,raiz4sin^2t+9cos^2t;dt
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integralCx,y,ds =integral0^2pi6cos t,sin t,raiz4sin^2t+9cos^2t;dt

Passo 5

Observamos a simetria da função
f(t)=6cos t,sin t,raiz4sin^2t+9cos^2t
Para tin[0,pi] vale f(pi-t)=-f(t), então integral0^pif(t),dt=0. Além disso f(t+pi)=f(t), o que implica
integral0^2pif(t),dt=2integral0^pif(t),dt=0.

Resposta

;0

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