E) Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.
sumk=0^infty 2^2 k3^3 k

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumk=0^infty 2^2k3^3k
e, caso ela convirja, calcular a soma. O conteúdo aqui é séries geométricas.

Passo 2

Reescrevemos o termo geral usando potências de uma única base:
2^2k=(2^2)^k=4^k e 3^3k=(3^3)^k=27^k,
portanto
2^2k3^3k =4^k27^k =l(427r)^k

Passo 3

Reconhecemos a série como geométrica de razão
r=427
Como l|rr|=427<1, a série converge.

Passo 4

Para uma série geométrica
sumk=0^infty ar^k
com a=1 (pois o termo para k=0 vale 1) e r=tfrac427, a soma é
S=a1-r =11-tfrac427 =1tfrac2327 =2723

Resposta

A série converge e sua soma é tfrac2723.

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