Calcule as integrais dadas colocando-as em coordenadas polares:
\int_{0}^{4} \int_{0}^{\sqrt{16-x^{2}}} \operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{4}\int_{0}^{\sqrt{16-x^{2}}}\arctan\!\Bigl(\tfrac{y}{x}\Bigr)\,dy\,dx
usando coordenadas polares. Vamos aplicar a mudança \;x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta\; e o Jacobiano \,dA=r\,dr\,d\theta.

Passo 2

Em coordenadas polares temos
\arctan\!\Bigl(\tfrac{y}{x}\Bigr)=\theta \quad\text{e}\quad dA=dy\,dx = r\,dr\,d\theta.

Passo 3

A região \{0\le x\le4,\;0\le y\le\sqrt{16-x^{2}}\} é o quarto de disco de raio 4, logo em polares
0\le r\le 4, \quad 0\le \theta\le \tfrac{\pi}{2}.

Passo 4

Substituindo na integral original obtemos
\int_{0}^{4}\int_{0}^{\sqrt{16-x^{2}}}\arctan\!\Bigl(\tfrac{y}{x}\Bigr)\,dy\,dx = \int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{4}\theta\,r\,dr\,d\theta.
Integramos primeiro em r:
\int_{0}^{4}r\,dr =\Bigl[\tfrac{r^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{4} =8,
então a integral vira
8\int_{0}^{\pi/2}\theta\,d\theta.

Passo 5

Agora integramos em \theta:
\int_{0}^{\pi/2}\theta\,d\theta =\Bigl[\tfrac{\theta^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{\pi/2} =\tfrac{1}{2}\Bigl(\tfrac{\pi}{2}\Bigr)^{2} =\tfrac{\pi^{2}}{8}.
Multiplicando por 8 resulta em \pi^{2}.

Resposta

\pi^{2}

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