Exercício 1. (8,0 pontos) Dado um campo vetorial
e uma função
, expresse
sendo
uma superfície com parametrização
. Considere como domínio de
um compacto
qualquer.
Passo 1
O enunciado pede as expressões gerais para as integrais de superfície de um campo vetorial
e de uma função escalar
sobre a superfície
onde
é um compacto no plano
. O conteúdo é o de integrais de superfície, e precisaremos obter o elemento de área a partir de vetores tangentes e do seu produto vetorial.
Passo 2
Definimos os vetores tangentes
O produto vetorial
é um vetor normal não unitário, e a sua norma
é o fator de escala que converte o elemento de área
no domínio em elemento de área sobre
. Assim o elemento de área é
Passo 3
Para a função escalar
, a integral de superfície fica
Passo 4
Para o campo vetorial
, a integração componente a componente sobre
usa o mesmo elemento de área, resultando em