Exercício 1. (8,0 pontos) Dado um campo vetorial F e uma função f, expresse
\begin{aligned} & \iint_{S} F d S \\\ & \iint_{S} f d S \end{aligned}
sendo S uma superfície com parametrização r(u, v)=(x(u, v), y(u, v), z(u, v)). Considere como domínio de S um compacto K qualquer.

Passo 1

O enunciado pede as expressões gerais para as integrais de superfície de um campo vetorial F e de uma função escalar f sobre a superfície
S:\;r(u,v) = \bigl(x(u,v),\,y(u,v),\,z(u,v)\bigr),\quad (u,v)\in K,
onde K é um compacto no plano (u,v). O conteúdo é o de integrais de superfície, e precisaremos obter o elemento de área a partir de vetores tangentes e do seu produto vetorial.

Passo 2

Definimos os vetores tangentes
r_u(u,v)=\frac{\partial r}{\partial u}(u,v), \quad r_v(u,v)=\frac{\partial r}{\partial v}(u,v).
O produto vetorial
r_u(u,v)\times r_v(u,v)
é um vetor normal não unitário, e a sua norma
\bigl\|r_u(u,v)\times r_v(u,v)\bigr\|
é o fator de escala que converte o elemento de área du\,dv no domínio em elemento de área sobre S. Assim o elemento de área é
dS \;=\;\bigl\|r_u(u,v)\times r_v(u,v)\bigr\|\,du\,dv.

Passo 3

Para a função escalar f, a integral de superfície fica
\iint_{S} f\,dS =\iint_{K} f\bigl(r(u,v)\bigr)\,\bigl\|r_u(u,v)\times r_v(u,v)\bigr\|\,du\,dv.

Passo 4

Para o campo vetorial F, a integração componente a componente sobre S usa o mesmo elemento de área, resultando em
\iint_{S} F\,dS =\iint_{K} F\bigl(r(u,v)\bigr)\,\bigl\|r_u(u,v)\times r_v(u,v)\bigr\|\,du\,dv.

Resposta

\iint_{S} f\,dS = \iint_{K} f\bigl(r(u,v)\bigr)\,\bigl\|r_u(u,v)\times r_v(u,v)\bigr\|\,du\,dv,
\iint_{S} F\,dS = \iint_{K} F\bigl(r(u,v)\bigr)\,\bigl\|r_u(u,v)\times r_v(u,v)\bigr\|\,du\,dv.

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