Exercício 4. (8,0 pontos) Utilize o Teorema de Stokes para calcular
\int_{C} F d r
com C no sentido anti-horário quando visto de cima, sendo
F(x, y, z)=\left\langle x+y^{2}, y+z^{2}, z+x^{2}\right\rangle
e C o triângulo com vértices (0,0,0),(0,1,0) e (0,0,1).
\qquad

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_C F\cdot d r
onde
F(x,y,z)=\langle x+y^2,\;y+z^2,\;z+x^2\rangle
e C é o triângulo de vértices (0,0,0), (0,1,0), (0,0,1), orientado no sentido anti-horário quando visto “de cima”. Isso é um caso clássico de aplicação do Teorema de Stokes, que diz
\int_{C}F\cdot d r \;=\;\iint_{S}(\nabla\times F)\cdot n\,dS,
onde S é a superfície plana limitada por C (o triângulo) e n é o versor normal compatível com a orientação de C.

Passo 2

Calculamos o rotacional de F. Se F=\langle P,Q,R\rangle então
\nabla\times F =\Bigl(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\;\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\;\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr).
Aqui P=x+y^2, Q=y+z^2, R=z+x^2. Logo
\nabla\times F =\langle 0-2z,\;0-2x,\;0-2y\rangle =\langle -2z,\;-2x,\;-2y\rangle.

Passo 3

A superfície S é o triângulo no plano x=0 com coordenadas (0,y,z), onde y\ge0, z\ge0 e y+z\le1. Para acompanhar a orientação “anti-horário visto de cima” (isto é, visto do lado x>0), escolhemos o vetor normal
n\,dS =\bigl(\partial_y r\times\partial_z r\bigr)\,dy\,dz =\langle1,0,0\rangle\,dy\,dz,
pois r(y,z)=(0,y,z) e \partial_y r\times\partial_z r=(1,0,0) aponta para x>0.

Passo 4

Aplicamos Stokes:
\int_C F\cdot d r =\iint_{S}(\nabla\times F)\cdot n\,dS =\iint_{D}\langle -2z,-2x,-2y\rangle\cdot\langle1,0,0\rangle\,dy\,dz =\iint_{D}(-2z)\,dy\,dz,
onde D=\{(y,z)\mid y\ge0,\;z\ge0,\;y+z\le1\}.

Passo 5

Calculamos a integral sobre D. Como y vai de 0 a 1-z e z de 0 a 1,
\iint_{D}(-2z)\,dy\,dz =\int_{z=0}^{1}\int_{y=0}^{1-z}(-2z)\,dy\,dz =\int_{0}^{1}\bigl[-2z(1-z)\bigr]\,dz.
Desenvolvendo:
\int_{0}^{1}(-2z+2z^2)\,dz =-2\int_{0}^{1}z\,dz+2\int_{0}^{1}z^2\,dz =-2\cdot\frac12+2\cdot\frac13 =-1+\frac23 =-\frac13.

Resposta

-\tfrac{1}{3}

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