Exercício 4. (8,0 pontos) Utilize o Teorema de Stokes para calcular
com
no sentido anti-horário quando visto de cima, sendo
e
o triângulo com vértices
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
e
é o triângulo de vértices
,
,
, orientado no sentido anti-horário quando visto “de cima”. Isso é um caso clássico de aplicação do Teorema de Stokes, que diz
onde
é a superfície plana limitada por
(o triângulo) e
é o versor normal compatível com a orientação de
.
Passo 2
Calculamos o rotacional de
. Se
então
Aqui
,
,
. Logo
Passo 3
A superfície
é o triângulo no plano
com coordenadas
, onde
,
e
. Para acompanhar a orientação “anti-horário visto de cima” (isto é, visto do lado
), escolhemos o vetor normal
pois
e
aponta para
.
Passo 4
Aplicamos Stokes:
onde
.
Passo 5
Calculamos a integral sobre
. Como
vai de
a
e
de
a
,
Desenvolvendo: