Calcule as integrais dadas colocando-as em coordenadas polares:
\int_{0}^{2} \int_{0}^{\sqrt{4-y^{2}}} \cos \left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y

Passo 1

O enunciado pede
\int_{0}^{2}\int_{0}^{\sqrt{4-y^{2}}}\cos\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dx\,dy
e quer que usemos coordenadas polares. O conteúdo é a mudança de variável em integrais duplas, usando \;x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta\; e o fator de Jacobiano r.

Passo 2

Identificamos a região de integração no plano (x,y):
0<= y <=2, 0<= x ≤ √(4− y^{2}). Isso é exatamente o quarto de disco de raio 2 no primeiro quadrante, ou seja
\{(r,\theta)\mid 0\le r\le2,\;0\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}\}.

Passo 3

Em coordenadas polares temos
x^{2}+y^{2}=r^{2},
o elemento de área dx\,dy vira r\,dr\,d\theta, e a integral passa a ser
\int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{2}\cos\bigl(r^{2}\bigr)\,r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Para calcular \displaystyle \int_{0}^{2}\cos(r^{2})\,r\,dr
fazemos u=r^{2}, logo du=2r\,dr e r\,dr=\tfrac12\,du. Os limites em u vão de 0 a 4. Assim
\int_{0}^{2}\cos(r^{2})\,r\,dr =\frac12\int_{0}^{4}\cos(u)\,du =\frac12\bigl[\sin(u)\bigr]_{0}^{4} =\frac12\sin(4).

Passo 5

Agora integramos em \theta:
\int_{0}^{\pi/2}\frac12\sin(4)\,d\theta =\frac12\sin(4)\;\Bigl[\theta\Bigr]_{0}^{\pi/2} =\frac12\sin(4)\cdot\frac{\pi}{2} =\frac{\pi}{4}\sin(4).

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{4}\sin(4)

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