Calcule as integrais dadas colocando-as em coordenadas polares:
\int_{0}^{a} \int_{0}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} \frac{d y d x}{\left(1+x^{2}+y^{2}\right)^{3 / 2}} a>0

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{a}\int_{0}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\frac{dy\,dx}{\bigl(1+x^{2}+y^{2}\bigr)^{3/2}},
onde a>0. O conteúdo é mudança para coordenadas polares, usando
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dx\,dy = r\,dr\,d\theta,
e aproveitar a simetria da região (um quarto de círculo de raio a).

Passo 2

Descrevemos a região de integração em coordenadas polares. Como x\ge0, y\ge0 e x^{2}+y^{2}\le a^{2}, temos
0\le r\le a,\quad 0\le \theta\le \frac{\pi}{2}.

Passo 3

Na integral original, 1+x^{2}+y^{2}=1+r^{2}. Substituindo dx\,dy=r\,dr\,d\theta, a integral vira
\int_{0}^{\pi/2}\!\int_{0}^{a}\frac{r}{\bigl(1+r^{2}\bigr)^{3/2}}\,dr\,d\theta.

Passo 4

Calculemos primeiro
\int_{0}^{a}\frac{r}{\bigl(1+r^{2}\bigr)^{3/2}}\,dr.
Fazendo u=1+r^{2}, du=2r\,dr, obtemos
\int_{0}^{a}\frac{r}{(1+r^{2})^{3/2}}\,dr =\frac{1}{2}\int_{1}^{1+a^{2}}u^{-3/2}\,du =\frac{1}{2}\Bigl[-2u^{-1/2}\Bigr]_{1}^{1+a^{2}} =1-\frac{1}{\sqrt{1+a^{2}}}.

Passo 5

Agora integramos em \theta, que simplesmente dá um fator \pi/2:
\int_{0}^{\pi/2}\!d\theta=\frac{\pi}{2}.
Portanto o valor total é
\frac{\pi}{2}\Bigl(1-\frac{1}{\sqrt{1+a^{2}}}\Bigr).

Resposta

\boxed{\frac{\pi}{2}\Bigl(1-\frac{1}{\sqrt{1+a^{2}}}\Bigr)}.

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