1. Seja p(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d um polinômio de coeficientes reais. Determine os coeficientes de p(x) de modo que a igualdade polinomial seja verdadeira:
x \cdot p(x+2)-p(x)=a x^{4}-3^{3}

Passo 1

O enunciado nos dá um polinômio
p(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d
e pede para encontrar a,b,c,d tais que
x\,p(x+2)-p(x)=a x^{4}-3x^{3}.
O plano é: (1) calcular p(x+2), (2) formar x\,p(x+2)-p(x), (3) agrupar coeficientes, (4) igualar aos de a x^{4}-3x^{3} e resolver o sistema resultante.

Passo 2

Calculemos primeiro
p(x+2)=a(x+2)^{3}+b(x+2)^{2}+c(x+2)+d.
Expandindo cada termo:
(x+2)^{3}=x^{3}+6x^{2}+12x+8, \quad (x+2)^{2}=x^{2}+4x+4,
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p(x+2) = a\bigl(x^{3}+6x^{2}+12x+8\bigr) + b\bigl(x^{2}+4x+4\bigr) + c\,x+2c + d.
Agrupando-se termos semelhantes,
p(x+2) = a x^{3} + (6a+b)x^{2} + (12a+4b+c)x + (8a+4b+2c+d).

Passo 3

Agora formamos
x\,p(x+2)-p(x) = x\bigl[a x^{3} + (6a+b)x^{2} + (12a+4b+c)x + (8a+4b+2c+d)\bigr] -\bigl[a x^{3}+b x^{2}+c x+d\bigr].
Multiplicando por x e depois subtraindo p(x), obtemos
x\,p(x+2)-p(x) = a x^{4} + (6a+b)x^{3} + (12a+4b+c)x^{2} + (8a+4b+2c+d)x -\bigl(a x^{3}+b x^{2}+c x+d\bigr).

Passo 4

Juntando termos de mesma potência de x:
x\,p(x+2)-p(x) = a x^{4} +\bigl((6a+b)-a\bigr)x^{3} +\bigl((12a+4b+c)-b\bigr)x^{2} +\bigl((8a+4b+2c+d)-c\bigr)x -d.
Isto é,
x\,p(x+2)-p(x) = a x^{4} + (5a+b)\,x^{3} + (12a+3b+c)\,x^{2} + (8a+4b+c+d)\,x - d.

Passo 5

Comparando com a x^{4}-3x^{3}\), igualamos coeficientes em cada grau de \(x\): \[\begin{cases} a = a,\\\\ 5a + b = -3,\\\\ 12a +3b + c = 0,\\\\ 8a +4b + c + d = 0,\\\\ -\,d = 0. \end{cases}
Da última equação vem d=0\]. De \(8a+4b+c+d=0 com d=0 e de 12a+3b+c=0 eliminamos c:
c = -12a -3b, \quad 8a+4b+(-12a-3b)=0 \;\Rightarrow\; -4a + b = 0 \;\Rightarrow\; b=4a.
Substituindo em 5a + b = -3:
5a + 4a = -3 \;\Rightarrow\; 9a = -3 \;\Rightarrow\; a = -\tfrac{1}{3}, \quad b = 4\Bigl(-\tfrac{1}{3}\Bigr) = -\tfrac{4}{3},
e então
c = -12\bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr) -3\bigl(-\tfrac{4}{3}\bigr) = 4 +4 = 8, \quad d = 0.

Resposta

a = -\tfrac{1}{3},\quad b = -\tfrac{4}{3},\quad c = 8,\quad d = 0.

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