1. Considere a função f(x)=x^{4}+1 / x^{4}. Determine o valor de f(3-2 \sqrt{2}).

Passo 1

O enunciado pede para calcular f(x)=x^{4} + \dfrac{1}{x^{4}}
no ponto x = 3 - 2\sqrt{2}.
O conteúdo da matéria que vamos usar são as identidades algébricas envolvendo potências e recíprocos:
x + \frac{1}{x},\quad x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = \biggl(x + \frac{1}{x}\biggr)^{2} - 2,\quad x^{4} + \frac{1}{x^{4}} = \biggl(x^{2} + \frac{1}{x^{2}}\biggr)^{2} - 2.

Passo 2

Primeiro calculamos o recíproco de x:
\frac{1}{x} = \frac{1}{3 - 2\sqrt{2}} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{(3)^2 - (2\sqrt{2})^2} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{9 - 8} = 3 + 2\sqrt{2}.
Então a soma
t = x + \frac{1}{x} = (3 - 2\sqrt{2}) + (3 + 2\sqrt{2}) = 6.

Passo 3

Usando a identidade para quadrados, temos
x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = t^{2} - 2 = 6^{2} - 2 = 36 - 2 = 34.

Passo 4

Agora aplicamos a identidade para quartas potências:
x^{4} + \frac{1}{x^{4}} = \bigl(x^{2} + \tfrac{1}{x^{2}}\bigr)^{2} - 2 = 34^{2} - 2 = 1156 - 2 = 1154.

Resposta

1154

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