Obtenha o conjunto dos pontos de continuidade das seguintes funções:
2 x, & se x <= 1 1, & se x>1

Passo 1

O enunciado dá uma função por partes: f(x)=2x quando x≤1 e f(x)=1 quando x>1. O conteúdo é continuidade de função em ℝ, e vamos precisar usar definição de continuidade (limites laterais e igualdade com o valor da função).

Passo 2

Cada uma das duas regras definidas é uma função contínua no seu domínio interno: 2x é contínua para x<1 e 1 (constante) é contínua para x>1. Logo, não há problemas de continuidade em todos os pontos estritamente menores que 1 nem em todos os pontos estritamente maiores que 1.

Passo 3

Falta verificar o ponto x=1. Para ser contínua em x=1, precisamos que limₓ→1⁻f(x)=limₓ→1⁺f(x)=f(1). Vamos calcular esses valores:
limxto1^- f(x)=limxto1^-2x=2
limxto1^+ f(x)=limxto1^+1=1

Passo 4

Como f(1)=2⋅1=2, vemos que o limite à direita (1) não bate com o valor da função em x=1 (2). Ou seja, a condição de continuidade falha em x=1.

Passo 5

Portanto, f é contínua em todos os pontos, exceto em x=1.

Resposta

O conjunto de continuidade é (-∞,1) ∪ (1,∞).

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