Calcule os integrais dados, aplicando o teorema sobre resíduo no ponto infinito
oint|z|=6 (z^6+z^5+i z^4)(z^3+i)(z^2-2 i) e^1z d z

Passo 1

O enunciado pede
usando o teorema do resíduo no ponto infinito. Vamos usar que, como não há singularidades de para até o infinito,
e em seguida obter a expansão de para (ou seja, em ).

Passo 2

Definimos
Para achar basta expandir
e usar
Então

Passo 3

Escrevemos g em w=1/z. Note que
z^6+z^5+i z^4=1w^6(1+w+i w^2), (z^3+i)(z^2-2i)=1w^5(1 -2i w^2 +i w^3+2 w^5)
Logo
g(w) =1/w^6,(1+w+i w^2)1/w^5,(1 -2i w^2 +i w^3+2 w^5) =1w,1+w+i w^21 -2i w^2 +i w^3+2 w^5
Como
11 -2i w^2 +i w^3+2 w^5 =1+2i,w^2+O(w^3),
temos
g(w) =1w,(1+w+i w^2),(1+2i w^2+O(w^3)) =1w+1+3i,w+O(w^2)
Portanto os coeficientes de g(w)=sum Bk w^k são
B-1=1, B0=1, B1=3i

Passo 4

Expandimos também
e^1/z=e^w=sumn=0^inftyw^nn!
Logo
f(w)=g(w),e^w =l(sumk=-1^infty Bk w^kr)l(sumn=0^inftyw^nn!r) =summ=-1^inftyl(sumk+n=mBkn!r)w^m
Em particular
a1 =B-12!+B01!+B10! =12+1+3i =32+3i

Passo 5

Finalmente,
I =2pi i,a1 =2pi il(32+3ir) =3pi i+6pi,i^2 =3pi i-6pi =-6pi+3pi i

Resposta

-6pi+3pi i

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