Determine a solução geral da equação diferencial dada
y^v i-3 y^i v+3 y^prime prime-y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes de ordem 6:
y^(6) - 3,y^(4) + 3,y'' - y = 0
Para resolver, vamos usar o método da equação característica, que consiste em propor uma solução da forma y=e^rx.

Passo 2

Substituindo y=e^rx na equação diferencial, obtemos a equação característica
r^6 - 3,r^4 + 3,r^2 - 1 = 0

Passo 3

Note que esse polinômio depende apenas de r^2. Fazendo a troca s = r^2, temos
s^3 - 3,s^2 + 3,s - 1 = (s-1)^3 = 0,
logo s=1 é raiz de multiplicidade 3.

Passo 4

Da relação s = r^2 = 1 seguem as raízes
r = pm 1,
cada uma com multiplicidade 3 no polinômio original, isto é, o fator (r-1)^3(r+1)^3.

Passo 5

Para cada raiz real r de multiplicidade m, as soluções fundamentais são
e^r x,; x,e^r x,; x^2,e^r x,dots,x^m-1e^r x
Assim, para r=1 e r=-1 (cada uma com m=3), obtemos as seis funções fundamentais
e^x,; x,e^x,; x^2e^x,; e^-x,; x,e^-x,; x^2e^-x
A solução geral é a combinação linear dessas seis soluções.

Resposta

y(x)=e^xl(C1+C2x+C3x^2r);+;e^-xl(C4+C5x+C6x^2r),
onde C1,C2,dots,C6 são constantes arbitrárias.

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