Calcule os integrais dados, aplicando o teorema sobre resíduo no ponto infinito
oint|z|=3 (z^4-i z^2)(z^3+i) ch(2z) d z

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do contorno
usando o teorema do resíduo no ponto infinito. Lembrando que, para uma função holomorfa em salvo em , vale
Além disso, se na região tivermos a expansão em Laurent
então
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Portanto basta achar o coeficiente na expansão de
para grande.

Passo 2

Expandimos primeiro a parte racional para |z|toinfty. Escrevendo
z^4 - i,z^2z^3 + i = z,(1 - i,z^-2),(1 + i,z^-3)^-1
e usando
(1 + i,z^-3)^-1=sumn=0^infty(-i)^n,z^-3n,
obtemos
z^4 - i,z^2z^3 + i =sumn=0^infty(-i)^nl(z^1-3n-i,z^-1-3nr)

Passo 3

Agora expandimos o cosseno hiperbólico:
cosh!l(tfrac2zr) =summ=0^infty1(2m)!l(2zr)^2m =summ=0^infty2^2m(2m)!,z^-2m

Passo 4

Multiplicando as duas séries obtemos
f(z) =sumn,m>=0(-i)^n2^2m(2m)!,z^1-3n-2m ;-;isumn,m>=0(-i)^n2^2m(2m)!,z^-1-3n-2m
Procuramos os pares (n,m) que geram termo z^-1.
  1. Na primeira soma temos 1-3n-2m=-1implies3n+2m=2, cuja única solução em inteiros não negativos é (n,m)=(0,1). O coeficiente é
(-i)^02^22!= 42=2
  1. Na segunda soma temos -1-3n-2m=-1implies3n+2m=0, única solução (n,m)=(0,0). O coeficiente é
-,i;(-i)^02^00!=-,i
Somando, o coeficiente a-1=2 - i.

Passo 5

Como oint f(z),dz =2pi i,a-1, segue
oint|z|=3z^4 - i,z^2z^3 + i,cosh!l(tfrac2zr),dz =2pi i,(2 - i) =2pi + 4pi i

Resposta

2pi + 4pi i

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