Calcule os integrais dados, aplicando o teorema sobre resíduo no ponto infinito
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do contorno
usando o teorema do resíduo no ponto infinito. Lembrando que, para uma função
holomorfa em
salvo em
, vale
Além disso, se na região
tivermos a expansão em Laurent
então
logo
Portanto basta achar o coeficiente
na expansão de
para
grande.
Passo 2
Expandimos primeiro a parte racional para
. Escrevendo
e usando
obtemos
Passo 3
Agora expandimos o cosseno hiperbólico:
Passo 4
Multiplicando as duas séries obtemos
Procuramos os pares
que geram termo
.
- Na primeira soma temos
, cuja única solução em inteiros não negativos é . O coeficiente é
- Na segunda soma temos
, única solução . O coeficiente é
Somando, o coeficiente
.
Passo 5
Como
, segue