Calcule os integrais dados, aplicando o teorema sobre resíduo no ponto infinito
oint|z|=4 (z^9-i z^6)(z^4+1) sin (3z^3) d z

Passo 1

O enunciado pede
e sugere usar o teorema do resíduo no ponto infinito.
Conteúdo: calcular o resíduo no infinito de
e então usar

Passo 2

Para achar é prático usar a mudança . Definimos
Então a integral original vale
Vamos achar . Substituindo em :
Multiplicando por

Passo 3

Expandimos em séries de potências ao redor de w=0. Primeiro
sin(3w^3) =sumn=0^infty(-1)^n(3w^3)^2n+1(2n+1)! =sumn=0^infty(-1)^n3^2n+1(2n+1)!,w^6n+3
E também
11+w^4 =summ=0^infty(-1)^m,w^4m
Logo
h(w) =l(w^-7-i,w^-4r) summ=0^infty(-1)^m w^4m sumn=0^infty(-1)^n3^2n+1(2n+1)!w^6n+3

Passo 4

Multiplicando, cada termo é da forma
Procuramos o expoente igual a . Da parte real teríamos
sem solução inteira. Da parte imaginária
que só dá . Para o coeficiente vale
Então

Passo 5

Logo a integral é
oint f(z),dz =2pi i,l(-3ir) =2pi icdot(-3i) =-6pi,i^2 =6pi

Resposta

6pi

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