Calcule os integrais dados, aplicando o teorema sobre resíduo no ponto infinito
oint|z|=5 (1-4 z^8)(z^4+i) e^z+1z^2 d z

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos calcular
oint|z|=51-4z^8z^4+i,e^z+1z^2,dz
aplicando o teorema do resíduo no ponto infinito. O conteúdo principal aqui é usar a expansão de Laurent para ztoinfty e extrair o coeficiente de z^-1.

Passo 2

Recordamos que, para uma função f holomorfa fora de um disco grande contendo todas as singularidades finitas, vale
oint|z|=Rf(z),dz=-2pi i,Resl(f,inftyr),
e que
Resl(f,inftyr)=-a-1,
onde a-1 é o coeficiente de z^-1 na expansão de Laurent de f para ztoinfty. Portanto
oint|z|=5f(z),dz =2pi i,a-1

Passo 3

Escrevemos
1-4z^8z^4+i =z^4l(z^-4-4z^4r)z^4(1+i,z^-4) =l(z^-4-4z^4r)sumk=0^infty(-i)^kz^-4k,
e
e^z+1z^2 =e^1/z+1/z^2 =sumn=0^infty1n!z^-n ;times; summ=0^infty1m!z^-2m
O produto geral gera termos proporcionais a
(-4)(-i)^k,1n!,m!,z^4-4k-n-2m e z^-4-4k-n-2m,
mas apenas o primeiro tipo pode produzir a potência z^-1. Impomos
4-4k-n-2m=-1 Longrightarrow 4k+n+2m=5

Passo 4

Resolvendo 4k+n+2m=5 com k,n,m>=0 obtemos quatro casos:
k=0,m=0,n=5;
k=0,m=1,n=3;
k=0,m=2,n=1;
k=1,m=0,n=1.
Para k=0 o coeficiente é
-4(-i)^0l(tfrac15!,0!+tfrac13!,1!+tfrac11!,2!r) =-4l(tfrac1120+tfrac16+tfrac12r) =-tfrac2710
Para k=1 o coeficiente é
-4(-i)^111!,0! =4i
Somando, o coeficiente de z^-1 na expansão é
a-1=4i-2710

Passo 5

Aplicando
oint|z|=5f(z),dz =2pi i,a-1 =2pi il(4i-tfrac2710r) =8pi,i^2-tfrac275pi,i =-8pi-275pi,i

Resposta

-8pi-275pi,i

Exercícios relacionados