Esboce os seguintes campos vetoriais em R^2 :
© F(x, y)=(x, x^2).

Passo 1

Resumindo: temos o campo vetorial F(x,y)=(x,x^2) definido em R^2. O conteúdo é campo vetorial em duas dimensões e vamos precisar saber como desenhar, em cada ponto (x,y), uma seta cujas componentes sejam dadas por essas funções de x e y.
Observação importante: aqui F não depende de y. Isso significa que ao longo de cada reta vertical x=c o vetor é sempre o mesmo, independente do valor de y. No esboço, portanto, teremos colunas de vetores idênticos para cada x.

Passo 2

Analisando componentes: para um ponto com coordenada x, temos a componente horizontal Fx=x e a componente vertical Fy=x^2. Se x>0, então Fx>0 e Fy>0: vetores apontando para nordeste. Se x<0, Fx<0 e Fy>0: vetores apontando para noroeste. Em x=0, o vetor fica (0,0), ou seja, nulo.

Passo 3

Para visualizar inclinação e tamanho: a inclinação é tfracFyFx=tfracx^2x=x (quando xneq0), então em x=1 a seta faz 45^circ, em x=2 fica com inclinação 2 (mais vertical) etc. A magnitude é lVertF(x,y)rVert=|x|raiz1+x^2, que cresce conforme |x| aumenta.

Passo 4

No esboço final, escolha alguns valores de x como -2,-1,0,1,2 e desenhe em cada reta vertical setas iguais: em x=-2 vetores para noroeste e maiores, em x=-1 setas mais suaves, em x=0 vetor nulo, em x=1 setas de tamanho médio em 45^circ, em x=2 setas mais verticais e maiores. Assim obtemos o esboço completo do campo vetorial.

Resposta

Em cada reta vertical x=c desenhamos vetores idênticos de componentes (c,c^2): para c<0 apontam noroeste, em c=0 são nulos, e para c>0 apontam nordeste com inclinação c e magnitude |c|raiz1+c^2.

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