Esboce os seguintes campos vetoriais em R^2 :
(a) F(x, y)=y imath-x jmath.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o campo vetorial em R^2
F(x,y)=y,imath-x,jmath
O conteúdo é identificação de padrões em campos vetoriais: vamos calcular F em pontos estratégicos e ver como as setas se distribuem no plano.

Passo 2

Calculemos F ao longo dos eixos coordenados.
Em (x,0) temos
F(x,0) = 0,imath - x,jmath = (0,-x),
ou seja, setas verticais apontando para baixo quando x>0 e para cima quando x<0.
Em (0,y) temos
F(0,y) = y,imath - 0,jmath = (y,0),
ou seja, setas horizontais apontando para a direita quando y>0 e para a esquerda quando y<0.

Passo 3

Para entender o padrão nos quadrantes, avalie em alguns pontos típicos:
F(1,1) = (1,-1), F(-1,1) = (1,1), F(-1,-1) = (-1,1), F(1,-1) = (-1,-1)
Vemos que as setas ficam sempre tangentes às circunferências centradas na origem, apontando no sentido horário.

Passo 4

Note que em (x,y) vale
F(x,y) = (y,-x)
e a magnitude é
|F(x,y)| = raizy^2 + (-x)^2 = raizx^2+y^2
Logo o comprimento da seta cresce linearmente com a distância ao centro e a direção é sempre tangente à circunferência de raio r=raizx^2+y^2, no sentido horário.

Passo 5

Agora basta desenhar várias circulações concêntricas:
– Em (1,0) seta para baixo;
– Em (0,1) seta para a direita;
– Em (-1,0) seta para cima;
– Em (0,-1) seta para a esquerda;
– Entre esses pontos, trace setas suaves, todas circulando no mesmo sentido.

Resposta

O esboço do campo F(x,y)=y,imath-x,jmath consiste em setas tangentes a círculos centrados na origem, orientadas no sentido horário, com comprimento proporcional ao raio.

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