Esboce os seguintes campos vetoriais em R^2 :
(b) F(x, y)=-x imath+y jmath.

Passo 1

O enunciado nos pede para esboçar em R^2 o campo vetorial
F(x,y)= -x,vecimath + y,vecjmath
O conteúdo aqui é interpretação geométrica de campo vetorial em plano, usando avaliação em pontos típicos e análise qualitativa (sela ou ponto de sela).

Passo 2

Analisamos o comportamento ao longo dos eixos coordenados:
  • Em y=0, temos
    F(x,0)=(-x,0).
    Para x>0 o vetor aponta para a esquerda (em direção à origem) e para x<0 aponta para a direita (também em direção à origem).
  • Em x=0, temos
    F(0,y)=(0,y).
    Para y>0 o vetor aponta para cima (afastando-se da origem) e para y<0 aponta para baixo (afastando-se da origem).

Passo 3

Escolhemos alguns pontos fora dos eixos para ver a orientação geral:
  • Em (1,1):
    F(1,1)=(-1,1) aponta para cima e para a esquerda.
  • Em (1,-1):
    F(1,-1)=(-1,-1) aponta para baixo e para a esquerda.
  • Em (-1,1):
    F(-1,1)=(1,1) aponta para cima e para a direita.
  • Em (-1,-1):
    F(-1,-1)=(1,-1) aponta para baixo e para a direita.

Passo 4

Com esses vetores notamos que no primeiro e terceiro quadrantes as setas formam um padrão que lembra uma sela (fluxo entrando pelos eixos x e saindo pelos eixos y), e vice-versa no segundo e quarto quadrantes. O campo é uma forma canônica de ponto de sela centrado na origem.

Resposta

O campo F(x,y)=(-x,y) tem esboço de ponto de sela na origem:
  • Sobre o eixo x, vetores apontam para a origem;
  • Sobre o eixo y, vetores apontam para fora da origem;
  • Nos quadrantes, as direções são inclinadas segundo o cálculo em pontos típicos, formando o fluxo de sela.
    Um desenho adequado teria vetores horizontais apontando para dentro ao longo do eixo x, vetores verticais apontando para fora ao longo do eixo y e intersecções inclinadas nos demais quadrantes seguindo os exemplos dados.

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