Calcule as integrais definidas:
integral0^pi / 2 cos x sen(sen x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral0^pi/2 cos x,sinl(sin xr),dx
O conteúdo aqui é integração de função composta, e vamos usar a técnica de substituição para simplificar.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = sin x,
de onde
du = cos x,dx
Note que o fator cos x,dx aparece na integral original, o que torna essa escolha natural.

Passo 3

Transformamos os limites de integração:
Para x=0 temos u=sin(0)=0.
Para x=pi/2 temos u=sin(pi/2)=1.
Assim a integral vira
integral0^pi/2 cos x,sinl(sin xr),dx = integralu=0^u=1 sin(u),du

Passo 4

Agora integramos sin(u). Sabemos que
integral sin(u),du = -cos(u) + C
Portanto
integral0^1 sin(u),du = l[-cos(u)r]0^1 = -cos(1) - l(-cos(0)r) = -cos(1) + cos(0)

Passo 5

Como cos(0)=1, concluímos que
integral0^pi/2 cos x,sinl(sin xr),dx = -cos(1) + 1 = 1 - cos(1)

Resposta

1 - cos(1)

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