Seja
(para
. Calcular
usando a definição.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
onde
. Nosso objetivo é encontrar a derivada dessa função usando a definição de derivada. Isso está dentro do conteúdo de cálculo diferencial, especialmente tratando de funções exponenciais com a variável no expoente. Para resolver isso, vamos precisar entender como trabalhar com exponenciais e logaritmos na hora de diferenciar.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
de uma forma que a derivação fique mais fácil. Sabemos que podemos expressar uma potência com a base e o expoente variáveis usando a fórmula:
Isso acontece porque
, então estamos basicamente convertendo a potenciação em uma exponencial, o que facilita a derivação.
Passo 3
Agora que temos
, vamos calcular a derivada dessa função. Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que é usada quando temos uma função composta, como é o caso aqui.
A regra da cadeia diz que se temos
, então:
No nosso caso,
, então precisamos primeiro encontrar
.
Passo 4
Vamos calcular
, onde
. Aqui, usaremos a regra do produto porque temos o produto de duas funções:
e
.
A regra do produto diz que se
, então:
Aplicando isso:
Passo 5
Agora que temos
, vamos voltar à derivada de
:
Lembrando que
, então podemos simplificar para: