Seja f(x)=x^x (para x>0). Calcular dd x f(x) usando a definição.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função f(x) = x^x onde x > 0 . Nosso objetivo é encontrar a derivada dessa função usando a definição de derivada. Isso está dentro do conteúdo de cálculo diferencial, especialmente tratando de funções exponenciais com a variável no expoente. Para resolver isso, vamos precisar entender como trabalhar com exponenciais e logaritmos na hora de diferenciar.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função f(x) = x^x de uma forma que a derivação fique mais fácil. Sabemos que podemos expressar uma potência com a base e o expoente variáveis usando a fórmula:
x^x = e^x ln x
Isso acontece porque e^ln a = a , então estamos basicamente convertendo a potenciação em uma exponencial, o que facilita a derivação.

Passo 3

Agora que temos f(x) = e^x ln x , vamos calcular a derivada dessa função. Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que é usada quando temos uma função composta, como é o caso aqui.
A regra da cadeia diz que se temos f(x) = e^u(x) , então:
f'(x) = e^u(x) cdot u'(x)
No nosso caso, u(x) = x ln x , então precisamos primeiro encontrar u'(x) .

Passo 4

Vamos calcular u'(x) , onde u(x) = x ln x . Aqui, usaremos a regra do produto porque temos o produto de duas funções: x e ln x .
A regra do produto diz que se u(x) = v(x) cdot w(x) , então:
u'(x) = v'(x) cdot w(x) + v(x) cdot w'(x)
Aplicando isso:
v(x) = x Rightarrow v'(x) = 1
w(x) = ln x Rightarrow w'(x) = 1x
u'(x) = 1 cdot ln x + x cdot 1x = ln x + 1

Passo 5

Agora que temos u'(x) = ln x + 1 , vamos voltar à derivada de f(x) :
f'(x) = e^x ln x cdot (ln x + 1)
Lembrando que e^x ln x = x^x , então podemos simplificar para:
f'(x) = x^x (1 + ln x)

Resposta

ddx f(x) = x^x (1 + ln x)

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