Determine todos os pontos em que função a seguir é contínua:
f(x, y)=ll (2 x+y)^2u^2+y^2, & se(x, y) neq(0,0) 1, & se(x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)= dfrac(2x+y)^2u^2+y^2,&se (x,y)neq(0,0), 1,&se (x,y)=(0,0)
Para resolver, precisamos verificar a continuidade em dois tipos de pontos: em (x,y)neq(0,0) e em (0,0). Note que deve haver um erro de digitação: usamos ,x^2+y^2 no denominador em vez de u^2+y^2.

Passo 2

Se (x,y)neq(0,0), então x^2+y^2neq0 e
f(x,y)=(2x+y)^2x^2+y^2
é quociente de polinômios com denominador não nulo, logo é contínua em todo ponto que não seja a origem.

Passo 3

Para testar a continuidade em (0,0), comparamos f(0,0)=1 com
lim(x,y)to(0,0)f(x,y). Em coordenadas polares x=rcostheta, y=rsintheta, temos
f(rcostheta,rsintheta) =l(2rcostheta+rsinthetar)^2r^2 =(2costheta+sintheta)^2
Ao fazer rto0, esse valor depende de theta, pois varia entre 0 e 5. Portanto o limite não existe de forma única.

Passo 4

Como o limite de f(x,y) quando (x,y)to(0,0) não existe, f não é contínua em (0,0).

Resposta

A função f é contínua em todo ponto (x,y)neq(0,0) e descontínua em (0,0).

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