Calcule o limite lateral lim x 0^+ ln (x) e explique o comportamento da função.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta quer que a gente calcule o limite lateral lim x 0^+ ln (x) e explique como a função ln(x) se comporta perto de x = 0. Para isso, vamos precisar entender o que é um limite, especialmente o limite lateral, e saber um pouco sobre a função logarítmica natural, ln(x).

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um limite. Quando falamos em lim x a f(x), estamos interessados no valor que a função f(x) se aproxima conforme x se aproxima de a. No caso de um limite lateral, como lim x 0^+ ln (x), estamos olhando apenas para os valores de x que chegam até 0 pela direita, ou seja, valores positivos muito próximos de 0.

Passo 3

Agora, vamos pensar na função ln(x). Sabemos que ln(x) é definida para x > 0 e que conforme x diminui e se aproxima de 0 pelo lado positivo, o valor de ln(x) fica cada vez menor, chegando a valores negativos muito grandes.

Passo 4

Vamos calcular o limite:
lim x 0^+ ln (x)
À medida que x se aproxima de 0 pela direita, ln(x) tende a -infty. Isso significa que não há um número real que seja o limite, mas podemos dizer que o limite é menos infinito.

Passo 5

Então, o que isso significa para a função ln(x)? Significa que, conforme x se aproxima de 0 pelo lado positivo, a função ln(x) decresce sem limite, ficando cada vez mais negativa. Isso mostra que há uma assimptota vertical em x = 0, onde a função “cai” indefinidamente.

Resposta

lim x 0^+ ln (x) = -infty

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