Calcule as integrais definidas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral! O enunciado pede para calcular a integral definida de (x + e^2x) no intervalo de 0 a 4. Isso envolve o conteúdo de integração de funções básicas, especificamente polinomiais e exponenciais. Para resolver, vamos precisar saber como integrar funções do tipo x e e^ax , onde a é uma constante.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar o cálculo:
integral0^4 (x + e^2x) , dx = integral0^4 x , dx + integral0^4 e^2x , dx
Explicação: A propriedade da linearidade das integrais nos permite dividir a integral de uma soma em duas integrais separadas.

Passo 3

Vamos integrar cada parte individualmente. Começando com integral x , dx :
integral x , dx = x^22 + C
Explicação: A integral de x^n é x^n+1n+1 + C . Aqui, n = 1 .
Agora, a integral de e^2x :
integral e^2x , dx = e^2x2 + C
Explicação: A integral de e^ax é e^axa + C , onde a é uma constante.

Passo 4

Agora, juntamos as duas antiderivadas e aplicamos os limites de integração de 0 a 4:
[ x^22 + e^2x2 ]0^4 = ( 4^22 + e^2 cdot 42 ) - ( 0^22 + e^2 cdot 02 )
Explicação: Substituímos x pelos limites superior e inferior e subtraímos os resultados.

Passo 5

Vamos calcular cada parte:
Para x = 4 :
4^22 = 162 = 8
e^82
Para x = 0 :
0^22 = 0
e^02 = 12
Subtraindo:
(8 + e^82) - (0 + 12) = 8 + e^82 - 12 = 8 + e^8 - 12

Resposta

A integral definida de (x + e^2x) de 0 a 4 é:
8 + e^8 - 12

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