Seja
. Calcule os valores de
e
que satisfazem a equação
. Represente as soluções no plano complexo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão envolve números complexos, especificamente trabalhando com a forma
, onde
é a parte real e
a parte imaginária. O objetivo é descobrir os valores de
e
que satisfazem a equação:
Para resolver isso, vamos precisar entender como dividir números complexos e trabalhar com o conjugado de um número complexo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que dividir números complexos pode ser facilitado multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de
é
. Então, vamos multiplicar tanto o numerador quanto o denominador por
:
Passo 3
Agora, vamos calcular o denominador. Usamos a fórmula
:
Então, a divisão fica:
Passo 4
Substituindo
na expressão acima:
Agora, vamos multiplicar os números no numerador:
Lembrando que
, temos:
Então, a divisão fica:
Passo 5
Agora, sabemos que:
Vamos igualar as partes reais e imaginárias das duas expressões:
Parte real:
Parte imaginária:
Passo 6
Vamos resolver essas duas equações separadamente.
Primeiro, a parte real:
Agora, a parte imaginária:
Passo 7
Agora que temos
, podemos substituir esse valor na expressão que encontramos para
:
Passo 8
Agora que temos o valor de
, podemos encontrar
usando
:
Resposta
Os valores que satisfazem a equação são: