Seja z=x+i y. Calcule os valores de x e y que satisfazem a equação z3+4 i=1+barz. Represente as soluções no plano complexo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão envolve números complexos, especificamente trabalhando com a forma z = x + iy , onde x é a parte real e y a parte imaginária. O objetivo é descobrir os valores de x e y que satisfazem a equação:
z3 + 4i = 1 + z
Para resolver isso, vamos precisar entender como dividir números complexos e trabalhar com o conjugado de um número complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que dividir números complexos pode ser facilitado multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de 3 + 4i é 3 - 4i . Então, vamos multiplicar tanto o numerador quanto o denominador por 3 - 4i :
z3 + 4i = z cdot (3 - 4i)(3 + 4i)(3 - 4i)

Passo 3

Agora, vamos calcular o denominador. Usamos a fórmula (a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2 :
(3 + 4i)(3 - 4i) = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25
Então, a divisão fica:
z cdot (3 - 4i)25

Passo 4

Substituindo z = x + iy na expressão acima:
(x + iy)(3 - 4i)25
Agora, vamos multiplicar os números no numerador:
(x + iy)(3 - 4i) = x cdot 3 + x cdot (-4i) + iy cdot 3 + iy cdot (-4i) = 3x - 4xi + 3iy - 4i^2 y
Lembrando que i^2 = -1 , temos:
3x - 4xi + 3iy + 4y = (3x + 4y) + (-4x + 3y)i
Então, a divisão fica:
(3x + 4y) + (-4x + 3y)i25 = 3x + 4y25 + -4x + 3y25i

Passo 5

Agora, sabemos que:
z3 + 4i = 1 + z = 1 + x - iy
Vamos igualar as partes reais e imaginárias das duas expressões:
Parte real:
3x + 4y25 = 1 + x
Parte imaginária:
-4x + 3y25 = -y

Passo 6

Vamos resolver essas duas equações separadamente.
Primeiro, a parte real:
3x + 4y25 = 1 + x 3x + 4y = 25(1 + x) 3x + 4y = 25 + 25x 4y = 25 + 25x - 3x 4y = 25 + 22x y = 25 + 22x4
Agora, a parte imaginária:
-4x + 3y25 = -y -4x + 3y = -25y -4x = -25y - 3y -4x = -28y 4x = 28y x = 7y

Passo 7

Agora que temos x = 7y , podemos substituir esse valor na expressão que encontramos para y :
y = 25 + 22x4 y = 25 + 22(7y)4 y = 25 + 154y4 4y = 25 + 154y 4y - 154y = 25 -150y = 25 y = 25-150 y = -16

Passo 8

Agora que temos o valor de y , podemos encontrar x usando x = 7y :
x = 7 ( -16 ) x = -76

Resposta

Os valores que satisfazem a equação são:
x = -76 e y = -16

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