Calcule as integrais definidas.
integral0^3 12 x+3 d x

Passo 1

Bom, o enunciado pede para calcular uma integral definida: integral0^3 12x+3 dx. Vamos trabalhar com cálculo integral, especificamente com integrais de funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais mais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que está sendo integrada: 12x+3. Essa é uma função racional, e para integrá-la, podemos usar uma substituição que simplify o denominador.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição simples. Seja u = 2x + 3. Agora, precisamos encontrar du, que é a derivada de u em relação a x:
du = 2 , dx implies dx = du2

Passo 4

Agora, vamos mudar os limites de integração para a variável u. Quando x = 0:
u = 2(0) + 3 = 3
E quando x = 3:
u = 2(3) + 3 = 9
Então, os novos limites de integração são de u = 3 a u = 9.

Passo 5

Substituindo tudo na integral original, temos:
integral0^3 12x+3 dx = integral3^9 1u cdot du2 = 12 integral3^9 1u du

Passo 6

A integral de 1u em relação a u é ln|u|. Então, vamos integrar:
12 integral3^9 1u du = 12 [ln|u|]3^9 = 12 (ln 9 - ln 3)

Passo 7

Simplificando a expressão usando propriedades dos logaritmos:
12 (ln 9 - ln 3) = 12 ln (93) = 12 ln 3

Resposta

O valor da integral definida é 12 ln 3.

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