Calcule as integrais definidas.
Passo 1
Bom, o enunciado pede para calcular uma integral definida:
. Vamos trabalhar com cálculo integral, especificamente com integrais de funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais mais complicadas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que está sendo integrada:
. Essa é uma função racional, e para integrá-la, podemos usar uma substituição que simplify o denominador.
Passo 3
Vamos fazer uma substituição simples. Seja
. Agora, precisamos encontrar
, que é a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos mudar os limites de integração para a variável
. Quando
:
E quando
:
Então, os novos limites de integração são de
a
.
Passo 5
Substituindo tudo na integral original, temos:
Passo 6
A integral de
em relação a
é
. Então, vamos integrar:
Passo 7
Simplificando a expressão usando propriedades dos logaritmos:
Resposta
O valor da integral definida é
.