Calcule as integrais definidas.
integral0^1 x^2 e^x^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida: integral0^1 x^2 e^x^3 , dx. A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais, especificamente integração por substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da função que simplifique a integral quando fazemos a substituição correta.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o que está dentro da integral: x^2 e^x^3. Nota que o expoente de e é x^3. Isso sugere que podemos fazer uma substituição onde u = x^3. Assim, precisamos encontrar du.

Passo 3

Calculando du, temos:
u = x^3 du = 3x^2 dx
Para deixar em termos de x^2 dx, dividimos ambos os lados por 3:
x^2 dx = du3

Passo 4

Agora, vamos mudar os limites de integração para u. Quando x = 0:
u = 0^3 = 0
E quando x = 1:
u = 1^3 = 1
Então, os novos limites para u são de 0 a 1.

Passo 5

Substituindo tudo na integral original, temos:
integral0^1 x^2 e^x^3 , dx = integral0^1 e^u cdot du3 = 13 integral0^1 e^u , du

Passo 6

Agora, vamos integrar e^u em relação a u:
integral e^u , du = e^u + C
Aplicando os limites de 0 a 1:
13 [ e^1 - e^0 ] = 13 (e - 1)

Resposta

A integral definida é igual a e - 13.

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