Seja Q a cunha no primeiro octante seccionada do sólido cilíndrico y^2+z^2 <= 1 pelos planos y=x e x=0. Calcule integral triplaQ z d V
R.: 18.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do integral
integral triplaQ z ,dV
sendo Q a região no primeiro octante definida por
  1. y^2+z^2<=1 (cilindro em torno do eixo x),
  2. x>=0 e
  3. o plano y=x (ou seja, 0<= x<= y).
    Vamos usar coordenadas cartesianas e decompor o domínio em camadas: primeiro integramos em x, depois em y e por fim em z.

Passo 2

Para um ponto (y,z) fixo em
(y,z)mid y>=0,;z>=0,;y^2+z^2<=1,
o coordenada x varia de 0 até y. Assim podemos escrever
integral triplaQ z,dV =integralz=0^1integraly=0^raiz1-z^2integralx=0^y z ,dx,dy,dz

Passo 3

Integramos primeiro em x. Como z é constante em relação a x:
integralx=0^y z,dx = zintegral0^ydx = z,y
Logo
integral triplaQ z,dV =integralz=0^1integraly=0^raiz1-z^2 z,y ,dy,dz

Passo 4

Agora integramos em y:
integraly=0^raiz1-z^2y,dy =l[tfrac12y^2r]0^raiz1-z^2 =tfrac12(1-z^2)
Substituindo:
integral triplaQ z,dV =integralz=0^1 zcdot tfrac12(1-z^2),dz =tfrac12integral0^1(z - z^3),dz

Passo 5

Basta agora calcular
tfrac12integral0^1(z - z^3),dz =tfrac12l[tfrac12z^2-tfrac14z^4r]0^1 =tfrac12l(tfrac12-tfrac14r) =tfrac12cdottfrac14 =tfrac18

Resposta

18

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