Classifique as EDOs abaixo em lineares/não-lineares, homogêneas/não-homogêneas, separá-veis/não-separáveis, e autônomas/não-autônomas. (Obs: homogênea, nesse exercício, significa que é função apenas da razão ).

Passo 1

O enunciado dá a EDO de primeira ordem
y,dx + x,dy = 0
e pede a classificação segundo quatro critérios: linearidade, homogeneidade (no sentido de y'=f(y/x)), separabilidade e autonomia. Vamos analisar cada um desses pontos.

Passo 2

(Linearidade) Reescrevendo a EDO em forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem, isolamos dydx:
dydx = -yx
Isso pode ser colocado como
dydx + 1x,y = 0,
onde o coeficiente de y depende só de x e o termo independente é zero. Logo, a EDO é linear em y.

Passo 3

(Homogeneidade) Observando
dydx = -yx,
vemos que o lado direito é função única da razão tfracyx. Portanto, a equação é homogênea segundo a definição dada (função de y/x).

Passo 4

(Separabilidade) Podemos escrever
dydx = -yx Longrightarrow dyy = -dxx,
o que isola y de um lado e x do outro. Logo, a EDO é separável.

Passo 5

(Autonomia) A definição de equação autônoma exige que dydx dependa só de y. Aqui
dydx = -yx
depende explicitamente de x, então a equação não é autônoma.

Resposta

A EDO
y,dx + x,dy = 0
é
linear, homogênea (no sentido de y'=f(y/x)), separável e não-autônoma.

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