Classifique as EDOs abaixo em lineares/não-lineares, homogêneas/não-homogêneas, separá-veis/não-separáveis, e autônomas/não-autônomas. (Obs: homogênea, nesse exercício, significa que
é função apenas da razão
).
Passo 1
O enunciado dá a EDO de primeira ordem
e pede a classificação segundo quatro critérios: linearidade, homogeneidade (no sentido de
), separabilidade e autonomia. Vamos analisar cada um desses pontos.
Passo 2
(Linearidade) Reescrevendo a EDO em forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem, isolamos
:
Isso pode ser colocado como
onde o coeficiente de
depende só de
e o termo independente é zero. Logo, a EDO é linear em
.
Passo 3
(Homogeneidade) Observando
vemos que o lado direito é função única da razão
. Portanto, a equação é homogênea segundo a definição dada (função de
).
Passo 4
(Separabilidade) Podemos escrever
o que isola
de um lado e
do outro. Logo, a EDO é separável.
Passo 5
(Autonomia) A definição de equação autônoma exige que
dependa só de
. Aqui
depende explicitamente de
, então a equação não é autônoma.
Resposta
A EDO
é
linear, homogênea (no sentido de ), separável e não-autônoma.
linear, homogênea (no sentido de