Calcule as integrais definidas:
integral1^4 raizx(2+x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida integral1^4 raizx(2 + x) , dx. Esse exercício envolve cálculo de integrais, mais especificamente integrais que possuem funções algébricas. Para resolver, vamos precisar conhecer as regras de integração, como a integral de potências e a propriedade da integral de uma soma.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o integrando raizx(2 + x). Sabemos que raizx pode ser escrita como x^1/2. Então, multiplicando cada termo dentro dos parênteses por x^1/2, temos:
raizx(2 + x) = 2x^1/2 + x^1/2 cdot x = 2x^1/2 + x^3/2

Passo 3

Agora, nossa integral fica:
integral1^4 (2x^1/2 + x^3/2) dx
Podemos dividir essa integral em duas partes, aproveitando a propriedade da integral da soma:
integral1^4 2x^1/2 dx + integral1^4 x^3/2 dx

Passo 4

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente. Começando pela primeira:
integral 2x^1/2 dx
A integral de x^n em relação a x é x^n+1n+1 + C, onde C é a constante de integração. Aplicando isso:
2 cdot x^1/2 + 11/2 + 1 = 2 cdot x^3/23/2 = 2 cdot (23x^3/2) = 43x^3/2

Passo 5

Agora, resolvendo a segunda integral:
integral x^3/2 dx
Aplicando a mesma regra:
x^3/2 + 13/2 + 1 = x^5/25/2 = 25x^5/2

Passo 6

Agora, somando as duas integrais resolvidas:
43x^3/2 + 25x^5/2
Esse é o antiderivado da função original. Agora, vamos aplicar os limites de integração de 1 a 4.

Passo 7

Substituindo x = 4:
43(4)^3/2 + 25(4)^5/2
Calculando 4^3/2 e 4^5/2:
4^3/2 = (raiz4)^3 = 2^3 = 8
4^5/2 = (raiz4)^5 = 2^5 = 32
Substituindo de volta:
43 times 8 + 25 times 32 = 323 + 645
Para somar essas frações, vamos encontrar um denominador comum, que é 15:
323 = 16015
645 = 19215
16015 + 19215 = 35215

Passo 8

Agora, substituindo x = 1:
43(1)^3/2 + 25(1)^5/2 = 43 times 1 + 25 times 1 = 43 + 25
Novamente, achando o denominador comum:
43 = 2015
25 = 615
2015 + 615 = 2615

Passo 9

Finalmente, subtraímos o valor de x = 1 do valor de x = 4:
35215 - 2615 = 32615

Resposta

O valor da integral definida integral1^4 raizx(2 + x) , dx é 32615.

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