Calcule as integrais definidas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida
. Esse exercício envolve cálculo de integrais, mais especificamente integrais que possuem funções algébricas. Para resolver, vamos precisar conhecer as regras de integração, como a integral de potências e a propriedade da integral de uma soma.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o integrando
. Sabemos que
pode ser escrita como
. Então, multiplicando cada termo dentro dos parênteses por
, temos:
Passo 3
Agora, nossa integral fica:
Podemos dividir essa integral em duas partes, aproveitando a propriedade da integral da soma:
Passo 4
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente. Começando pela primeira:
A integral de
em relação a
é
, onde
é a constante de integração. Aplicando isso:
Passo 5
Agora, resolvendo a segunda integral:
Aplicando a mesma regra:
Passo 6
Agora, somando as duas integrais resolvidas:
Esse é o antiderivado da função original. Agora, vamos aplicar os limites de integração de 1 a 4.
Passo 7
Substituindo
:
Calculando
e
:
Substituindo de volta:
Para somar essas frações, vamos encontrar um denominador comum, que é 15:
Passo 8
Agora, substituindo
:
Novamente, achando o denominador comum:
Passo 9
Finalmente, subtraímos o valor de
do valor de
:
Resposta
O valor da integral definida
é
.