Use a regra da cadeia para calcular fracpartial zpartial u e fracpartial zpartial v, onde:
z=e^x y t g(y), onde x=x(u, v)=u+2 v e y=y(u, v)=uv

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
z = e^x y,tan(y)
quando
x = x(u,v) = u + 2v e y = y(u,v) = uv
O conteúdo aqui é aplicação da regra da cadeia para funções de duas variáveis.

Passo 2

Computamos as derivadas parciais de x e y em relação a u e v:
xu = partialpartial u(u+2v) = 1, xv = partialpartial v(u+2v) = 2,
yu = partialpartial ul(uvr) = 1v, yv = partialpartial vl(uvr) = -uv^2

Passo 3

Agora derivamos z em relação a x e a y:
zx = partialpartial xl(e^xytan(y)r) = y,e^xy,tan(y),
zy = partialpartial yl(e^xytan(y)r) = x,e^xy,tan(y) + e^xy,sec^2(y) = e^xyl(xtan(y)+sec^2(y)r)

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
partial zpartial u = zx,xu + zy,yu = y,e^xytan(y)cdot1 + e^xyl(xtan(y)+sec^2(y)r)cdot1v,
partial zpartial v = zx,xv + zy,yv = y,e^xytan(y)cdot2 + e^xyl(xtan(y)+sec^2(y)r)cdotl(-uv^2r)

Passo 5

Por fim, substituímos x=u+2v e y=tfracuv para expressar tudo em termos de u e v.

Resposta

partial zpartial u = e^(u+2v)uv l[ tan!l(tfracuvr)l(2,tfracuv+2r) +sec^2!l(tfracuvr)v r],
partial zpartial v = e^(u+2v)uv l[ 2,uv,tan!l(tfracuvr) -uv^2l((u+2v)tan!l(tfracuvr)+sec^2!l(tfracuvr)r) r]

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