Calcule as integrais definidas:
integral0^10 raiz5 x-1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^10raiz5x-1,dx
O conteúdo aqui é integração de uma função do tipo raizax+b. Vamos usar substituição e, antes disso, verificar o domínio de definição da função.

Passo 2

A função
f(x)=raiz5x-1
está definida como número real somente quando
5x-1>=0Longrightarrow x>=15
Portanto, em [0,tfrac15) a função não é real e a integral de 0 a 10 torna-se imprópria e, na verdade, não existe no sentido de uma integral real standard.

Passo 3

Se quisermos calcular um valor real, devemos restringir o intervalo a [tfrac15,10]. Então passamos a avaliar
integraltfrac15^10raiz5x-1,dx
por meio de substituição.

Passo 4

Fazemos
u = 5x - 1 Longrightarrow du = 5,dx Longrightarrow dx = du5
Quando x=tfrac15, u=5cdottfrac15-1=0. Quando x=10, u=5cdot10-1=49. Assim,
integraltfrac15^10raiz5x-1,dx = integralu=0^49raizu,du5 = 15integral0^49u^tfrac12,du

Passo 5

Calculamos a integral de u^1/2:
integral u^tfrac12,du = u^tfrac32tfrac32 = 23,u^tfrac32
Logo,
15integral0^49u^tfrac12,du = 15,l[23,u^tfrac32r]0^49 = 215l[49^tfrac32-0^tfrac32r] = 215times 343 = 68615

Passo 6

Concluímos que a integral original
integral0^10raiz5x-1,dx
não existe como integral real devido ao domínio. Entretanto, se considerarmos a parte válida em que a função é real, obtemos
integraltfrac15^10raiz5x-1,dx=tfrac68615

Resposta

A integral integral0^10raiz5x-1,dx não está definida no sentido real porque raiz5x-1 exige x>=tfrac15.
Restrigindo o intervalo a l[tfrac15,10r], o valor é
68615

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